מספרים ראשוניים: מה הם, מה הם, תרגילים

הסט של מספרים ראשוניים הוא מושא הלימוד ב מתמטיקה מיוון העתיקה. אוקלידס, ביצירתו הגדולה "האלמנטים", כבר דן בנושא, והצליח להוכיח שזה מַעֲרֶכֶת הוא אינסופי. כפי שאנו יודעים, המספרים הראשוניים הם אלה שיש להם את המספר 1 כמחלק והם עצמם, לפיכך, מציאת ראשוניים גדולים מאוד אינה משימה קלה, והמסננת של ארטוסתנס מקלה על כך. פְּגִישָׁה.

מספרים ראשוניים בין 1 ל-100.

איך יודעים מתי מספר הוא ראשוני?

אנו יודעים שמספר ראשוני הוא aמי שיש לו כמו מחיצה המספר 1 ואת עצמו, כך שמספר שברשימה המחלקים שלו יש מספרים שאינם 1 ומעצמו לא יהיה ראשוני, ראה:

על ידי רישום המחלקים 11 ו-30, יש לנו:

D(11) = {1, 11}

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}

שימו לב שלמספר 11 יש רק את המספר 1 ואת עצמו כמחלקים, אז ה מספר 11 הוא מספר ראשוני. כעת, תסתכל על המחלקים של המספר 30, יש לו, בנוסף למספר 1 ולעצמו, את המספרים 2, 3, 5, 6 ו-10 עם מחלקים. לָכֵן, המספר 30 אינו ראשוני.

→ דוגמא: רשום את ראשוני הקטן מ-15.

לשם כך, נפרט את המחלקים של כל המספרים בין 2 ל-15.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1,3}

D(4) = {1, 2, 4}

D(5) = {1, 5}

D(6) = {1, 2, 3, 6}

D(7) = {1, 7}

D(8) = {1, 2, 4, 8}

D(9) = {1, 3, 9}

D(10) = {1, 2, 5, 10}

D(11) = {1, 11}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(13) = {1, 13}

D(14) = {1, 2, 7, 14}

D(15) = {1, 3, 5, 15}

לפיכך, ראשוניים קטנים מ-15 הם:

2, 3, 5, 7, 11 ו-13

בואו נודה בזה, המשימה הזו לא תהיה נעימה במיוחד, למשל, אם נכתוב את כל הראשוניים בין 2 ל-100. כדי להימנע מכך, נלמד להשתמש, בנושא הבא, במסננת של ארטוסתנס.

מסננת של ארוטוסטנס

המסננת של ארטוסתנס היא א כלי שמטרתו להקל על קביעת המספרים הראשוניים. המסננת מורכבת מארבעה שלבים, ויש צורך, כדי להבין אותם, לזכור את קריטריונים לחלוקה. לפני שמתחילים שלב אחר שלב, עלינו ליצור טבלה מהמספר 2 למספר הרצוי, שכן המספר 1 אינו ראשוני. לאחר מכן:

→ שלב 1: מקריטריון ההתחלקות ב-2, יש לנו שהמספרים הזוגיים כולם מתחלקים בו, כלומר, מספר 2 יופיע ברשימת המחלקים, כך שמספרים אלו לא יהיו ראשוניים ועלינו להוציא אותם מה- שולחן. האם הם:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

→ שלב 2: מקריטריון ההתחלקות ב-3, אנו יודעים שמספר מתחלק ב-3 אם ה סְכוּם מהספרות שלו זה גם כן. לפיכך, עלינו להוציא את המספרים הללו מהטבלה, מכיוון שהם אינם ראשוניים מכיוון שיש מספר שאינו 1 והוא עצמו ברשימת המחלקים. אז עלינו לא לכלול את המספרים:

6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …

→ שלב 3: מקריטריון ההתחלקות ב-5, אנו יודעים שכל המספרים המסתיימים ב-0 או 5 מתחלקים ב-5, ולכן עלינו להוציא אותם מהטבלה.

10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…

→ שלב 4: באופן דומה, עלינו להוציא מהטבלה מספרים שהם כפולות של 7.

14, 21, 28, …, 546, …

– בהכרת המסננת של ארטוסתנס, בואו נקבע את הראשוניים בין 2 ל-100.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

→ אינם בני דודים
→ מספרים ראשוניים

אז המספרים הראשוניים בין 2 ל-100 הם:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

קראו גם: חישוב MMC ו-MDC: איך לעשות את זה?

פירוק גורם ראשוני

ה פירוק גורם ראשוני רשמית ידוע בשם משפט יסוד של חשבון. משפט זה קובע שכל מספר שלם שונה מ-0 ומעלה מ-1 יכול להיות מיוצג על ידי מכפלה של מספרים ראשוניים. כדי לקבוע את הצורה המחולקת למספר שלם, עלינו לבצע חלוקות עוקבות עד שנגיע לתוצאה השווה ל-1. ראה את הדוגמה:

← קבע את הצורה המשולבת של המספרים 8, 20 ו-350.

כדי לחלק את המספר 8, עלינו לחלק אותו במספר הראשוני האפשרי הראשון, במקרה זה ב-2. לאחר מכן, אנו מבצעים חלוקה נוספת גם לפי הראשוני האפשרי, התהליך הזה חוזר על עצמו עד שנגיע למספר 1 כתשובה לחלוקה. תראה:

8: 2 = 4

4: 2 = 2

2: 2 = 1

לכן, הצורה המחולקת של המספר 8 היא 2 · 2 · 2 = 2³. על מנת להקל על תהליך זה, נאמץ את השיטה הבאה:

לכן, ניתן לכתוב את המספר 8 כך: 2³.

→ כדי לחלק את המספר 20, נשתמש באותה שיטה, כלומר: נחלק אותו במספרים ראשוניים.

אז המספר 20, בצורתו המחולקת, הוא: 2 · 2 · 5 או 2² · 5.

→ באופן דומה, נעשה עם המספר 350.

לכן, המספר 350, בצורתו המחולקת, הוא: 2 · 5 · 5 · 7 או 2 · 5² · 7.

ראה גם: סימון מדעי: בשביל מה זה מיועד?

תרגילים שנפתרו

שאלה 1 - פשט את הביטוי:

פִּתָרוֹן

ראשית, בואו נחשוב על הביטוי כדי להקל עליו.

לפיכך, 1024 = 2¹⁰, ולכן נוכל להחליף אחד בשני בביטוי התרגיל. לכן:

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm