משפט יסוד של דמיון

כאשר משווים בין דמויות גיאומטריות, יש כמה מסקנות אפשריות: הדמויות חופפות, כלומר, הצדדים והזוויות שלהן הן בעלות אותן מידות; הדמויות שונות או שהדמויות דומות, כלומר יש להן זוויות מתאימות במידות שוות וצלעות מתאימות במידות פרופורציונליות.

מתמטיקאי בשם תאלס ממילטוס הבחין בכך יש פרופורציונליות בין הקווים הישרים הנוצרים על ידי צרור של קווים מקבילים חתוכים על ידי קווים רוחביים. תסתכל על התמונה הבאה:

המידתיות התקינה שנצפה על ידי Tales היא זו של שוויון:

MN = כי = ב
MO PR QR

תגלית חשובה זו נצפתה במהרה במשולשים. כאשר משולש ABC נחתך בשניים מצלעיו, AB ו-AC, על ידי קו r והישר הזה מקביל לצלע הנותרת, BC, של המשולש, אזי אותן מידתיות חלות., מכיוון שניתן לראות את קודקוד A של משולש זה כנקודה השייכת לישר במקביל גם ל-r. שעון:

במשולש זה חלות המידתיות הבאות:

AE = AF = EB
AB AC FC

לאחר שמבחינים במידתיות אלו, ובהתחשב במשולשים AEF ו-ABC כמשולשים מובחנים, די להבחין בכך שהזווית קודקוד פנימי A משותף לשני המשולשים כדי לקבוע שהם דומים, במקרה של דמיון צד – זווית – צד (LAL). באופן יותר ספציפי:

• הזווית הפנימית של קודקוד A משותפת לשני המשולשים, ולכן היא זהה כאשר משווים בין השניים.

• הצלעות AE ו-AF השייכות למשולש AEF פרופורציונליות לצלעות AC ו-AB השייכות למשולש ABC.

לכן, לפי מקרה LAL של דמיון משולש, המשולשים דומים.

לסיכום, עם כל משולש כבסיס, אתה יכול להגיע לנכס הבא: במשולש ABC, ישר r חוצה את הצלעות AB ו-AC בנקודות E ו-F כך שהישר r מקביל לצלע BC. אז משולשים ABC ו-AEF דומים.

תכונה זו נודעה כמשפט הדמיון הבסיסי.
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר במתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-fundamental-semelhanca.htm