המשולש של פסקל: מה זה, פונקציה, תכונות

O המשולש של פסקל זה כלי מתמטי די ישן. במהלך ההיסטוריה, הוא קיבל מספר שמות, אך המאומצים ביותר כיום הם משולש אריתמטי והמשולש של פסקל. השם השני הוא מחווה למתמטיקאי שתרם מספר תרומות לחקר המשולש הזה. פירושו שהמשולש הומצא על ידו, אבל הוא זה שעשה מחקר מעמיק יותר על כך כְּלִי.

מהמאפיינים של משולש פסקל אפשר לבנות אותו בצורה לוגית. גם בולט שלך מערכת יחסים עם שילובים נלמד בניתוח קומבינטורי. המונחים של משולש פסקל תואמים גם למקדמים בינומיים, ולכן הוא שימושי מאוד לחישוב כל בינומי של ניוטון.

קראו גם: מכשיר בריוט-רופיני - שיטה לחלוקת פולינומים

בניית המשולש של פסקל

המשולש של פסקל מופק מהתוצאה של השילובים, אולם יש שיטה מעשית המקלה על הדרך לבנות אותו. השורה הראשונה והעמודה הראשונה נספרות כשורה אפס ועמודה אפס. אנחנו יכולים להשתמש במספר קווים לפי הצורך בבנייה זו, לכן למשולש יכולים להיות קווים אינסופיים. הנימוק לעיבוד השורות תמיד זהה. תראה:

אנחנו יודעים את זה מונחי משולש הם שילובים, למד ב ניתוח קומבינטורי. להחלפת המשולש של פסקל בערכים מספריים, אנו יודעים שהשילובים של מספר עם אפס ומספר עם עצמו שווים תמיד ל-1. לכן, הערך הראשון והאחרון הם תמיד 1.

כדי למצוא את האחרים, נתחיל עם שורה 2, מכיוון ששורה 0 ושורה 1 כבר הושלמו. בשורה 2, כדי למצוא את הצירוף של 2 ל-1, בשורה למעלה, כלומר בשורה 1, נוסיף את המונח שמעליו באותה עמודה ואת המונח שמעליו בעמודה הקודמת, כפי שמוצג בתמונה :

לאחר בניית קו 2, ניתן לבנות קו 3 בביצוע אותו הליך.

בהמשך נוהל זה, נמצא את כל התנאים – במקרה זה עד שורה 5 – אך ניתן לבנות כמה קווים שצריך.

מאפייני המשולש של פסקל

יש כמה תכונות המשולש של פסקל, בשל הסדירות בבנייתו. מאפיינים אלו שימושיים לעבודה עם שילובים, בניית קווי משולש עצמו וסכום הקווים, העמודות והאלכסונים.

• נכס ראשון

המאפיין הראשון היה זה שבו השתמשנו לבניית המשולש. אז ל למצוא מונח במשולש של פסקל, פשוט הוסף את המונח שנמצא בשורה שמעליו ואת אותה עמודה עם המונח שנמצא בעמודה ובשורה שלפניו. ניתן לייצג נכס זה באופן הבא:

נכס זה ידוע בשם מערכת היחסים של שטיפל וחשוב להקל על בניית המשולש ולמצוא את הערכים של כל אחד מהקווים.

• נכס שני

הסכום של כל האיברים בשורה מחושב על ידי:

ס_לא=2^לא, על מה לא הוא מספר השורה.

דוגמאות:

עם נכס זה, אפשר לדעת סכום כל האיברים בשורה מבלי בהכרח לבנות את המשולש של פסקל. את הסכום של שורה 10, למשל, אפשר לחשב ב-2¹⁰ = 1024. למרות שלא כל המונחים ידועים, כבר ניתן לדעת את ערך הסכום של השורה כולה.

• נכס שלישי

סכום האיברים ברצף מתחילת עמודה נתונה ל עד קו מסוים לא זהה למונח על הקו n+1 גב ועמודה p+1 מאוחר יותר, כפי שמוצג להלן:

• נכס 4

סכום אלכסון שמתחיל בעמודה 0 ומגיע לאיבר בעמודה p ובשורה n שווה לאיבר באותה עמודה (p), אך בשורה למטה (n+1), כפי שמוצג בתמונה :

• נכס 5

יש סימטריה בקווי המשולש של פסקל. האיבר הראשון והשני שווים, האיבר השני והלפני אחרון שווים, וכן הלאה.

דוגמא:

שורה 6: 1615 20 156 1.

שימו לב שהמונחים שווים לשניים לשניים, למעט המונח המרכזי.

ראה גם: חלוקה פולינומית: איך פותרים אותה?

הבינומי של ניוטון

אנו מגדירים את הבינומי א של ניוטון כוחו של אחד פולינום שיש לו שני מונחים. החישוב של בינומי קשור למשולש פסקל, שהופך למנגנון לחישוב מה שאנו מכנים מקדמים בינומיים. כדי לחשב בינומיאל, אנו משתמשים בנוסחה הבאה:

שימו לב שהערך המעריך של ה הוא יורד עד שבקדנציה האחרונה הוא שווה ל ה⁰. אנו יודעים שכל מספר שהועלה ל-0 שווה ל-1, ומכאן המונח ה לא מופיע בקדנציה האחרונה. שימו לב גם שהמעריך של ב מתחיל עם ב⁰, בקרוב ב לא מופיע בקדנציה הראשונה ועולה עד שמגיעים ב^לא, בקדנציה האחרונה.

יתר על כן, המספר הנלווה לכל אחד מהמונחים הוא מה שאנו מכנים מקדם - במקרה זה המכונה מקדם בינומי. כדי להבין טוב יותר כיצד לפתור סוג זה של בינומיאל, גש לטקסט שלנו: הבינומי של ניוטון.

מקדם בינומי

המקדם הבינומי אינו אלא השילוב, אותו ניתן לחשב באמצעות הנוסחה:

עם זאת, כדי להקל על חישוב הבינומי של ניוטון, חיוני להשתמש במשולש פסקל, מכיוון שהוא נותן לנו את התוצאה של השילוב מהר יותר.

דוגמא:

כדי למצוא את התוצאה של המקדם הבינומי, בוא נמצא את הערכים של שורה 5 במשולש פסקל, שהם {1,5,10,10,5,1}.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ פי 10²y³ + 5xy⁴+1 שנה⁵

פשוט שים:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ פי 10²y³ + 5xy⁴+y⁵

המשולש של פסקל נוצר על ידי מקדמים בינומיים.

תרגילים שנפתרו

שאלה 1 - הערך של הביטוי למטה הוא?

א) 8

ב) 16

ג) 2

ד) 32

ה) 24

פתרון הבעיה

חלופה א'.

קיבוץ מחדש של הערכים החיוביים והשליליים, עלינו:

שימו לב שאנחנו למעשה מחשבים את החיסור בין קו 4 לקו 3 במשולש פסקל. לפי רכוש, אנו יודעים כי:

ס₄ = 2⁴ = 16

ס₃= 2³ = 8

16 – 8 = 8.

שאלה 2 - מה הערך של הביטוי למטה?

א) 32

ב) 28

ג) 256

ד) 24

ה) 54

פתרון הבעיה

חלופה ב'.

שימו לב שאנחנו מוסיפים את המונחים מעמודה 1 של המשולש של פסקל לשורה 7, ואז לשורה השלישית. נכס, הערך של סכום זה שווה למונח התופס שורה 7+1 ועמודה 1+1, כלומר שורה 8, עמודה 2. מכיוון שאנו רוצים רק ערך אחד, בניית משולש פסקל כולו אינה נוחה.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm