אתה מספרים הם מלווים את הצרכים האנושיים הפרימיטיביים לכימות, לספור ולמדוד. בגלל הצרכים הללו, הפך חיוני ליצור את הרעיון של מספרים וגם סמלים שייצגו אותם באמצעות כתיבה.
במהלך ההיסטוריה, מספר תרבויות פיתחו את הרעיון של מספרים והשתמשו, פעמים רבות, בגוף עצמו מייצגים זאת ועושים ספירות, עד שניתן היה להציג את המספרים באמצעות סמלים שונים על מנת לייצג אותם מתוך טופס כתוב. היום אנו משתמשים בספרות ה-indO-עֲרָבִיתס, המאפשרים לנו לציין כל מספר באמצעות עשרה סימנים שונים {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
עם התפתחות החברה - וכתוצאה מכך, של המתמטיקה - צצו קבוצות מספריות לאורך ההיסטוריה. האם הם:
מספרים טבעיים;
מספרים שלמים;
מספר רציונלי;
מספרים אי - רציונליים;
מספרים אמיתיים.
קראו גם: מערכת המספור העשרונית - מערכת המספור בה אנו משתמשים
תקציר לגבי מספרים
מושג המספר פותח כדי לענות על הצורך של האדם לספור ולמדוד.
לאורך ההיסטוריה, עמים שונים פיתחו מספרים שונים.
המספרים שאנו משתמשים בהם כיום מחולקים לקבוצות של מספרים, כלומר: מספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספרים רציונליים, מספרים אי-רציונליים ומספרים ממשיים.
מה זה מספרים?
המספרים הם
אובייקטים פרימיטיביים של מתמטיקה המשמשים לציון סדר, מידה או כמות. איננו יודעים בוודאות מתי האדם פיתח את רעיון הכמות וכתוצאה מכך את מושג המספרים.מושג המספר, אם כן, מלווה את התפתחות האנושות, וכיום מספרים מיוצגים לפי הסמלים {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} בחברה שלנו, אבל היו כמה מערכות אחרות של סִפְרוּר. מספרים הם יסודות העומדים בבסיס המתמטיקה וניתן לבטא אותם באמצעות צליל, בדיבור שלנו או בכתיבה.
היסטוריה של מספרים
מושג המספר עולה באנושות מרגע ה צריך לספור מזון וחפצים. לכן, במהלך קיומם של אנשי מערות, רעיון המספרים כבר היה נחוץ כדי לספור, למשל, את כמות הדגים שנתפסו.
עם הזמן, עם התפתחות החקלאות, שוב היה צורך במספרים, כדי שניתן היה לספור את כמות הפירות או החיות שנאספו בעדר.
כך, עם השנים, החברה השתנתה, ובני האדם הבינו עד כמה זה הכרחי פיתוח שלה כְּתִיבָה. עם התפתחות הכתיבה על ידי השומרים, הופיעו גם הדמויות הראשונות לייצוג המספרים. ישנם תיעודים של עמים אחרים שפיתחו מערכות מספור, כמו המצרים, בני המאיה, הסינים וההינדים.
כַּיוֹם, אנו משתמשים במערכת המספור אינדO-עֲרָבִית, בעל בסיס 10 ומאפשר לנו, בקלות, לבצע פעולות בין שני מספרים. ככל שהצורך במתמטיקה שהאדם שלט בחיי היומיום גדל, הופיעו קבוצות מספריות.
קרא גם: מהם מספרים ראשוניים?
סטים מספריים
אתה ערכות מספריות הופיעו לאורך ההיסטוריה לענות על דרישות חדשות של האוכלוסייה. הסט המספרי הראשון המוכר לנו הוא קבוצת המספרים הטבעיים, ויש אחרים, כמו קבוצת מספרים שלמים, קבוצת המספרים הרציונליים, קבוצת המספרים האי-רציונליים, ולבסוף, קבוצת המספרים הממשיים.
קבוצה של מספרים טבעיים (N)
אתה מספרים טבעיים היו הראשונים ששימשו בני אדם.סלא המספרים השלמים והחיוביים, שאנו משתמשים בהם בחיי היומיום שלנו כדי לספור ולמיין.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
לקבוצת המספרים הטבעיים יש אינסוף יסודות. לכל מספר תמיד יש יורש מוגדר היטב, כי כדי למצוא את היורש של מספר טבעי פשוט הוסף 1 למספר הזה.
קבוצה של מספרים שלמים (Z)
הסט של מספרים שלמים הוא הרחבה של קבוצת המספרים הטבעיים, כמו כל מספר טבעי הוא גם מספר שלם. סט זה נוצר מהצורך האנושי לייצג מספרים שליליים. כיום די נפוץ לראות מספרים שליליים במדידות טמפרטורה, למשל. המספרים השלמים הם:
Z = {…– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O גם קבוצת המספרים השלמים היא אינסופית, אבל לשני הצדדים, כלומר, יש אינסוף מספרים שליליים וחיוביים.
קבוצה של מספרים רציונליים (Q)
הסט של מספר רציונלי נובע מהצורך במדידות מדויקות יותר. לא תמיד ניתן היה לייצג מידה באמצעות מספרים שלמים. זה היה אז הדיוק של קיומם של מספרים עשרוניים וגם של שברים.
אז קבוצת המספרים הרציונליים הוא גם הגדלה של מספרים שלמים, כלומר כל מספר שלם הוא רציונלי, אבל מה שמשתנה הוא שיש עלייה במספרים שניתן לייצג בשברים.
זה לא מעשי לייצג את קבוצת המספרים הללו ברשימה, כמו במקרים הקודמים, בגלל המספרים ניתן לבטא רציונלים כשבר, מה שגורם למספרים העשרוניים גם לשלב את זה מַעֲרֶכֶת. לכן, ככל שיש לנו קשר סדר מוגדר היטב, כלומר, אנו יודעים איזה מספר גבוה או נמוך יותר בהשוואה, עדיין לא ניתן להגדיר מי הוא היורש של מספר נתון בקבוצת המספרים הרציונליים.
מספרים אי-רציונליים (I)
אתה מספרים אי - רציונליים הם אינם הרחבה של הקבוצות הקודמות, אלא קבוצה מספרית חדשה. במהלך פתרון בעיות מסוימות, התוצאה שנמצאה הייתה שורש לא מדויק ומכאן ואילך, היה צורך בסט חדש.
מספרים אי-רציונליים הם מורכב משורשים לא מדויקים וכן מעשרות לא תקופתיות. יתר על כן, מספר לעולם לא יהיה רציונלי ואי-רציונלי בו-זמנית, שכן כדי להיות אי-רציונלי לא ניתן לבטא את המספר כשבר. המספר √2, למשל, אינו רציונלי מכיוון שהשורש הריבועי שלו אינו מדויק, ומייצר עשרוני לא מחזורי.
מספרים אמיתיים (R)
הסט של מספרים אמיתיים אינו אלא ה אַחְדוּת דהמספרים האי-רציונליים ו דהמספרים הרציונליים, יוצר קבוצה חדשה, שהיא כיום הכי בשימוש בחקר פונקציות, בין היתר.
שיעור וידאו על סטים מספריים
מספרים אחרים
קבוצה של מספרים מרוכבים (C)
בנוסף לסטים המוצגים, יש גם את הסט של מספרים מסובכים (Ç). זהו סיווג שנעשה למתמטיקה מעמיקה יותר שנלמדה על ידי מומחים. למרות שפחות נפוצים, למספרים מרוכבים יש חשיבות רבה. אנו מכירים כמספרים מרוכבים את שורשים של מספרים שליליים.נסמן i = √– 1 כדי לייצג כל מספר מרוכב. לדוגמה, 1 + √– 4 מיוצג על ידי 1 + 2i.
קרא גם: עובדות מהנות על חלוקת מספרים טבעיים
פתרו תרגילים על מספרים
שאלה 01
לגבי מספרים, אנו יודעים שהם מחולקים לקבוצות, המכונות קבוצות מספרים. בהתבסס על ידע זה, שפוט את ההצהרות הבאות:
I → כל מספר אי רציונלי הוא מספר ממשי.
II → כל מספר רציונלי הוא מספר שלם.
III → כל מספר אי רציונלי הוא מספר רציונלי.
סמן את החלופה הנכונה:
א) רק אני נכון.
ב) רק II נכון.
ג) רק III נכון.
ד) כולם שקריים.
פתרון הבעיה:
חלופה א'
אני → נכון, כי קבוצת המספרים הממשיים נוצרת על ידי האיחוד של רציונלים עם אי רציונלים.
II → לא נכון, שכן ישנם מספרים שהם רציונליים ושאינם מספרים שלמים.
III → לא נכון, מכיוון שמספר אינו יכול להיות אי-רציונלי ורציונלי בו-זמנית.
שאלה 02
לגבי המצאת המספרים, שפוט את ההצהרות הבאות:
א) מספרים הם יצירה מודרנית, כי כאשר בני אדם היו נוודים, לא היה צורך להשתמש במספרים, מכיוון שהם עסקו רק בציד ובדייג. אז, מושג המספר עלה רק עם החקלאות.
ב) המספרים הומצאו על ידי גברים מתחילת המסחר, מכיוון שהם היו צריכים לעשות חילופים הוגנים. לפני כן, אין תיעוד של שימוש במספרים על ידי גברים.
ג) המספרים הומצאו על ידי האדם כאשר הפסיק להיות נווד והחל לגדל עדרים ולהתמסר למטעים, ועזר לשלוט במחזוריות היבול שלו.
ד) למרות שמערכת המספור בה אנו משתמשים לא הייתה הראשונה שהומצאה, רעיון המספר הוא מלווה את האדם מאז תקופת המערות, עם הצורך לתת דין וחשבון על כמות המזון, בין היתר יישומים.
פתרון הבעיה:
חלופה D
החלופה שמתארת בצורה הטובה ביותר את ההיסטוריה של המצאת המספרים היא חלופה D.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה