אזור דמויות שטוחות: תרגילים נפתרים והערות

שטח הדמות השטוח מייצג את מידת הארכת הדמות במישור. כדמויות שטוחות, אנו יכולים להזכיר בין השאר את המשולש, המלבן, המעוין, הטרפז, המעגל.

השתמש בשאלות למטה כדי לבדוק את הידע שלך בנושא חשוב זה של גאומטריה.

בעיות התחרות נפתרו

שאלה 1

(Cefet / MG - 2016) יש לחלק את שטח הריבוע של האתר לארבעה חלקים שווים, גם מרובעים, וגם באחד מהם, יש לשמור על שמורת יער מקומית (אזור בקוע), כפי שמוצג באיור א לעקוב אחר.

הידיעה כי B היא נקודת האמצע של קטע AE ו- C היא נקודת האמצע של קטע EF, האזור הבקוע, ב מ², תן לי

א) 625.0.
ב) 925.5.
ג) 1562.5.
ד) 2500.0.

ראה תשובה

חלופה נכונה: ג) 1562.5.

בהתבוננות באיור, אנו מבחינים כי השטח הבקוע תואם את שטח הריבוע עם צלע של 50 מ 'פחות שטח המשולשים BEC ו- CFD.

המדידה של הצד BE, של המשולש BEC, שווה ל 25 מ ', כאשר נקודה B מחלקת את הצד לשני קטעים חופפים (נקודת האמצע של הקטע).

אותו דבר קורה עם צלעות EC ו- CF, כלומר המדידות שלהן שוות גם ל- 25 מ ', שכן נקודה C היא נקודת האמצע של קטע EF.

לפיכך, אנו יכולים לחשב את שטח המשולשים BEC ו- CFD. בהתחשב בשני צדדים המכונים בסיס, הצד השני ישתווה לגובה, מכיוון שמשולשים הם מלבנים.

חישוב שטח הריבוע והמשולשים BEC ו- CFD, יש לנו:

ישר A עם כתב מרובע שווה ישר L בריבוע ישר A עם AEFD מנוי בסוף סוף כתב שווה ל 50.50 שווה ל 2500 רווח ישר m בריבוע ישר A עם תוספת מנוי שווה למונה ישר ב. ישר h מעל המכנה 2 סוף השבר ישר A עם תוספת BED המשנה סוף המנוי שווה למונה 25.25 מעל המכנה 2 סוף השבר שווה ל 625 מעל 2 שווה ל -312 פסיק 5 רווח ישר m בריבוע ישר A עם תוספת CFD תת מנוי בסוף מנוי שווה למונה 25.50 מעל מכנה 2 קצה השבר שווה 1250 מעל 2 שווה ל 625 שטח ישר m בריבוע ישר שטח שטח שטח שטח בקוע יימצא מקום ביצוע חלל מינוס אם שתי נקודות ישרות A עם כתב ישר ישר שווה 2500 פחות 625 פחות 312 פסיק 5 שווה ל 1562 פסיק 5 רווח ישר m ao כיכר

לכן, האזור הבקוע, במ '², מודד 1562.5.

instagram story viewer

שאלה 2

(Cefet / RJ - 2017) לריבוע עם צלע x ומשולש שווה צלעות עם צלע y יש אזורים באותו המידה. לפיכך, ניתן לומר שיחס x / y שווה ל:

ישר מונה בסוג רווח ימני שורש ריבוע של 6 מעל המכנה 4 סוף השבר ישר b סוגריים ימניים רווח 3 מעל 2 סוגריים ישרים מונה רווח ימין שורש ריבועי של 3 מעל מכנה 4 סוף שבר ישר ד סוגריים סופר ימני שורש רביעי של 3 מעל מכנה 2 סוף של שבריר

ראה תשובה

חלופה נכונה: מונה סוגר ימין ישר שורש רביעי של 3 על פני מכנה 2 סוף שבר .

המידע שניתן בבעיה הוא שהאזורים זהים, כלומר:

ישר A עם ריבוע מנוי שווה ישר A עם משולש מנוי

שטח המשולש נמצא על ידי הכפלת מדידת הבסיס במדידת הגובה וחלוקת התוצאה ב -2. מכיוון שהמשולש שווה צלעות והצד שווה ל- y, ערך הגובה שלו ניתן על ידי:

ישר h שווה למונה ישר L שורש ריבועי של 3 מעל המכנה 2 סוף השבר שווה למונה ישר y שורש ריבועי של 3 מעל המכנה 2 סוף שבר רווח חלל זה ערך שטח בחלל נוסחה חלל שטח שטח חלל חלל חלל משולש פסיק יש לנו שתי נקודות ישרות A עם משולש תת שווה למונה ישר ב. ישר h מעל המכנה 2 סוף השבר שווה למונה ישר y. סוגר התחל בסגנון שמאל מראה מניין ישר y שורש ריבועי של 3 מעל המכנה 2 סוף השבר סוף הסגנון סוגר ימין מעל המכנה 2 סוף של שבר שווה למונה ישר y בריבוע ריבוע שורש של 3 מעל המכנה 4 סוף שבר שווה שטח כשטחי שטח שתי נקודות ישר x בריבוע שווה מונה שורש ריבוע ישר y בריבוע של 3 מעל המכנה 4 סוף שבר חישוב יחס רווח ישר לרווח שתי נקודות ישר x בריבוע מעל y ישר ל ריבוע שווה מונה שורש ריבועי של 3 מעל מכנה 4 סוף שבר חץ כפול ימינה ישר x מעל ישר y שווה שורש ריבועי של מונה שורש ריבוע של 3 מעל המכנה 4 סוף השבר קצה השורש חץ כפול ימינה ישר x מעל ישר y שווה למונה השורש הרביעי של 3 מעל המכנה 2 סוף של שבריר

לכן, ניתן לומר שיחס x / y שווה ל- מונה שורש רביעי של 3 על פני מכנה 2 סוף שבר .

שאלה 3

(IFSP - 2016) כיכר ציבורית בצורת מעגל יש רדיוס של 18 מטר. לאור האמור לעיל, סמן את החלופה המציגה את אזורך.

א) 1,017.36 מ '²
ב) 1,254.98 מ '²
ג) 1,589.77 מ '²
ד) 1,698.44 מ '²
ה) 1,710.34 מ '²

ראה תשובה

חלופה נכונה: א) 1 017, 36 מ '².

כדי למצוא את שטח הריבוע, עלינו להשתמש בנוסחה לאזור המעגל:

A = π.R²

החלפת ערך הרדיוס ובהתחשב ב- π = 3.14, אנו מוצאים:

A = 3.14. 18² = 3,14. 324 = 1 017, 36 מ '²

לכן שטח הריבוע הוא 1 017, 36 מ '².

שאלה 4

(IFRS - 2016) למלבן יש מידות x ו- y, המתבטאות במשוואות x²= 12 ו- (y - 1)² = 3.

ההיקף והשטח של המלבן הזה הם בהתאמה

א) 6√3 + 2 ו- 2 + 6√3
ב) 6√3 ו- 1 + 2√3
ג) 6√3 + 2 ו 12
ד) 6 ו -2√3
ה) 6√3 + 2 ו- 2√3 + 6

ראה תשובה

חלופה נכונה: ה) 6√3 + 2 ו- 2√3 + 6.

ראשית בואו נפתור את המשוואות כדי למצוא את הערכים של x ו- y:

איקס²= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) ²= 3 ⇒ y = √3 + 1

היקף המלבן יהיה שווה לסכום כל הצדדים:

P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

כדי למצוא את האזור, פשוט הכפל את x.y:

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

לכן, ההיקף והשטח של המלבן הם בהתאמה 6√3 + 2 ו- 2√3 + 6.

שאלה 5

(חניך מלחים - 2016) ניתוח הנתון הבא:

בידיעה ש- EP הוא הרדיוס של חצי המעגל המרכזי ב- E, כפי שמוצג באיור לעיל, קבע את הערך של האזור הכהה ביותר ובדוק את האפשרות הנכונה. נתונים: מספר π = 3

א) 10 ס"מ²
ב) 12 ס"מ²
ג) 18 ס"מ²
ד) 10 ס"מ²
ה) 24 ס"מ²

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) 12 ס"מ².

האזור הכהה ביותר נמצא על ידי הוספת שטח ההיקף למחצה לאזור המשולש ABD. נתחיל בחישוב שטח המשולש, לשם כך, שימו לב שהמשולש הוא מלבן.

בואו נקרא לצד ה- AD של x ונחשב את המידה שלו באמצעות משפט פיתגורס, כמפורט להלן:

5²= x² + 3²
איקס² = 25 - 9
x = √16
x = 4

לדעת את המדד בצד AD, אנו יכולים לחשב את שטח המשולש:

ישר A עם משולש ABD המשנה סוף המשנה שווה למונה 3.4 מעל המכנה 2 סוף השבר שווה 12 מעל 2 שווה ל 6 ס"מ מרובע בריבוע

אנחנו עדיין צריכים לחשב את שטח ההיקף למחצה. שימו לב שהרדיוס שלו יהיה שווה למחצית המידה בצד AD, לכן r = 2 ס"מ. שטח ההיקף למחצה יהיה שווה ל:

ישר A שווה ל- πr בריבוע מעל 2 שווה למונה 3.2 בריבוע על פני המכנה 2 סוף השבר שווה ל -6 ס"מ מרווח בריבוע

האזור החשוך ביותר יימצא על ידי ביצוע: א_ט= 6 + 6 = 12 ס"מ²

לכן ערך האזור הכהה ביותר הוא 12 ס"מ².

שאלה 6

(האויב - 2016) גבר, אב לשני ילדים, רוצה לקנות שתי חלקות אדמה, עם שטחים באותו מידה, אחד לכל ילד. אחת האדמות בהן ביקרנו כבר תחומה, ולמרות שאין לה פורמט קונבנציונאלי (כפי שמוצג באיור ב '), היא שימחה את הבן הבכור ולכן נרכשה. לבן הצעיר יש פרויקט אדריכלי לבית שהוא רוצה לבנות, אך לשם כך הוא זקוק של שטח בצורה מלבנית (כפי שמוצג באיור א ') שאורכו ארוך יותר מ- 7 מ' רוֹחַב.

כדי לספק את הבן הצעיר, האדון הזה צריך למצוא פיסת אדמה מלבנית שמידותיה, במטרים, באורך וברוחב, שוות בהתאמה

א) 7.5 ו- 14.5
ב) 9.0 ו -16.0
ג) 9.3 ו -16.3
ד) 10.0 ו- 17.0
ה) 13.5 ו -20.5

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) 9.0 ו -16.0.

מכיוון שהשטח של איור A שווה לשטח של איור B, תחילה נחשב שטח זה. לשם כך, נחלק את איור B, כפי שמוצג בתמונה למטה:

שימו לב שכאשר מחלקים את הדמות, יש לנו שני משולשים ימניים. לכן, השטח של איור B יהיה שווה לסכום השטחים של המשולשים הללו. לחישוב האזורים הללו יש לנו:

ישר A עם סוף B 1 סוף כתב סוף של מנוי שווה למונה 21.3 על מכנה 2 סוף שבר שווה ל 63 מעל 2 שווה 31 פסיק 5 רווח ישר m בריבוע ישר A עם חתך ישר ישר B 2 סוף מנוי שווה למונה 15.15 מעל המכנה 2 סוף שבר שווה 225 מעל 2 שווה 112 פסיק 5 רווח ישר m בריבוע ישר A עם תואר ישר B שווה 112 פסיק 5 בתוספת 31 פסיק 5 שווה 144 רווח ישר a ao כיכר

מכיוון שדמות A היא מלבן, שטחה נמצא על ידי ביצוע:

ה_ה = x. (x + 7) = x²+ 7x

משווים את השטח של איור A לערך שנמצא לאזור של איור B, אנו מוצאים:

איקס² + 7x = 144
איקס² + 7x - 144 = 0

בואו נפתור את משוואת התואר השני באמצעות הנוסחה של בהאסקרה:

תוספת שווה 49 פחות 4.1. סוגריים שמאליים מינוס 144 תוספת סוגר ימני שווה 49 בתוספת 576 תוספת שווה 625 ישר x עם 1 מנוי שווה למונה מינוס 7 פלוס 25 מעל המכנה 2 קצה השבר שווה ל 18 מעל 2 שווה ל 9 ישר x עם 2 מנוי שווה למונה מינוס 7 מינוס 25 מעל המכנה 2 קצה השבר שווה למונה מינוס 32 מעל המכנה 2 קצה השבר שווה מינוס 16 לכוח המרחב ריק

כמדד לא יכול להיות שלילי, בואו ניקח בחשבון את הערך השווה ל- 9. לכן רוחב האדמה באיור A יהיה שווה ל- 9 מ 'והאורך יהיה שווה ל- 16 מ' (9 + 7).

לכן, מדידות האורך והרוחב חייבות להיות שוות ל- 9.0 ו- 16.0 בהתאמה.

שאלה 7

(Enem - 2015) לחברת טלפונים סלולריים יש שתי אנטנות שיוחלפו באחת חדשה וחזקה יותר. אזורי הכיסוי של האנטנות שיוחלפו הם מעגלים ברדיוס של 2 ק"מ, שהיקפיהם משיקים לנקודה O, כפי שמוצג באיור.

נקודה O מציינת את מיקום האנטנה החדשה, ואזור הכיסוי שלה יהיה מעגל שהיקפו ישיק חיצוני את היקפי אזורי הכיסוי הקטנים יותר. עם התקנת האנטנה החדשה הורחבה מדידת שטח הכיסוי, בקילומטר רבוע

א) 8 π
ב) 12 π
ג) 16 π
ד) 32 π
ה) 64 π

ראה תשובה

חלופה נכונה: א) 8 π.

הגדלת מדידת שטח הכיסוי תימצא על ידי הקטנת שטחי העיגולים הקטנים יותר של העיגול הגדול יותר (הכוונה לאנטנה החדשה).

כאשר היקף אזור הכיסוי החדש נוגע חיצונית להיקפים הקטנים יותר, הרדיוס שלו יהיה שווה ל -4 ק"מ, כמצוין באיור להלן:

בואו נחשב את השטחים A.₁ וה₂של המעגלים הקטנים יותר ושטח A₃ מהמעגל הגדול יותר:

ה₁= א₂ = 2². π = 4 π
ה₃ = 4².π = 16 π

המדידה של השטח המוגדל תימצא על ידי ביצוע:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

לכן, עם התקנת האנטנה החדשה, גודל הכיסוי, בקילומטר רבוע, הוגדל ב- 8 π.

שאלה 8

(אויב - 2015) תרשים I מציג תצורה של מגרש כדורסל. הטרפז האפור, המכונה carboys, תואם לאזורים מוגבלים.

במטרה לעמוד בהנחיות הוועד המרכזי של התאחדות הכדורסל הבינלאומית (Fiba) בשנת 2010, שאיחדה את הסימנים מהסגסוגות השונות, נקבע שינוי בבחירות של בתי המשפט שיהפכו למלבנים, כפי שמוצג בתוכנית II.

לאחר ביצוע השינויים המתוכננים חל שינוי בשטח שנכבש על ידי כל קרבי, המקביל ל (א)

א) עלייה של 5800 ס"מ².
ב) גידול של 75 400 ס"מ².
ג) עלייה של 214 600 ס"מ².
ד) ירידה של 63 800 ס"מ².
ה) ירידה של 272 600 ס"מ².

ראה תשובה

חלופה נכונה: א) הגדלה של 5800 ס"מ ².

כדי לברר מה היה השינוי באזור הכבוש, בואו נחשב את השטח לפני השינוי ולאחריו.

בחישוב התוכנית I נשתמש בנוסחה לאזור הטרפז. בתרשים II נשתמש בנוסחה לשטח המלבן.

ישר A עם כתב I ישר שווה לסופר שמאל סוגר ישר B בתוספת סוגר ימין ישר. ישר h מעל המכנה 2 סוף השבר ישר A עם מנוי ישר I שווה לסופר שמאל סוגר 600 בתוספת 360 סוגריים ימין .580 מעל המכנה 2 קצה השבר השווה ל 278 רווח 400 שטח סנטימטר בריבוע ישר A עם כתב II שווה לישר ב. ישר h ישר A עם מנוי II השווה ל 580,490 שווה ל 284 שטח 200 שטח ס"מ בריבוע

שינוי האזור יהיה:

A = A_II- א_אני
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 ס"מ²

לכן, לאחר ביצוע השינויים המתוכננים, חל שינוי בשטח שנכבש על ידי כל קרבי, המקביל לגידול של 5800 ס"מ.

תרגילים מוצעים (עם החלטה)

שאלה 9

אנה החליטה לבנות בביתה בריכה מלבנית בגודל 8 מ 'בגובה 5 מ'. מסביבו, בצורת טרפז, הוא התמלא בעשב.

בידיעה שגובה הטרפז הוא 11 מ 'ובסיסיו 20 מ' ו -14 מ ', מה שטח החלק שהתמלא בעשב?

א) 294 מ '²
ב) 153 מ '²
ג) 147 מ '²
ד) 216 מ '²

ראה תשובה

חלופה נכונה: ג) 147 מ '².

כאשר המלבן, המייצג את הבריכה, מוחדר בתוך דמות גדולה יותר, הטרפז, נתחיל בחישוב שטח הדמות החיצונית.

שטח הטרפז מחושב לפי הנוסחה:

ישר רווח שווה לרווח המונה סוגריים שמאליים ישר B רווח בתוספת רווח ישר b סוגריים ימניים. רווח ישר h מעל המכנה 2 סוף השבר

איפה,

B הוא המדד של הבסיס הגדול ביותר;
b הוא המדד של הבסיס הקטן ביותר;
h הוא הגובה.

החלפת נתוני ההצהרה בנוסחה, יש לנו:

ישר רווח שווה לרווח המונה סוגריים שמאליים ישר B רווח בתוספת רווח ישר b סוגריים ימניים. רווח ישר h מעל המכנה 2 קצה רווח השבר שווה לסופר החלל סוגריים שמאליים 20 רווח ישר m רווח בתוספת רווח 14 רווח ישר m שטח סוגריים ימניים. רווח 11 רווח ישר m מעל המכנה 2 קצה השבר שווה לרווח המונה 374 רווח ישר m בריבוע מעל המכנה 2 סוף השבר רווח שווה לחלל 187 רווח ישר m בריבוע

עכשיו, בואו נחשב את שטח המלבן. לשם כך, אנחנו רק צריכים להכפיל את הבסיס בגובה.

ישר רווח שווה חלל ישר רווח b. רווח ישר h חלל שווה חלל 8 חלל ישר m שטח. רווח 5 רווח ישר m שטח שווה למרחב 40 שטח ישר ישר בריבוע

כדי למצוא את השטח המכוסה בעשב, עלינו להפחית את השטח שתופס הבריכה מאזור הטרפז.

187 חלל ישר m ריבוע ריבוע מינוס רווח 40 רווח ישר m בכוח של 2 חלל קצה אקספוננציאלי שווה למרחב 147 רווח ישר m בריבוע

לכן השטח המלא בעשב היה 147 מ '².

ראה גם: אזור טרפז

שאלה 10

כדי לשפץ את גג המחסן שלו החליט קרלוס לקנות אריחים קולוניאליים. בעזרת סוג זה של גג יש צורך ב -20 חתיכות לכל מטר מרובע של גג.

אם גג המקום נוצר על ידי שתי לוחות מלבניים, כמו באיור לעיל, כמה אריחים צריך קרלוס לקנות?

א) 12000 אריחים
ב) 16000 אריחים
ג) 18000 אריחים
ד) 9600 אריחים

ראה תשובה

חלופה נכונה: ב) 16000 אריחים.

כיסוי המחסן עשוי משתי לוחות מלבניים. לכן עלינו לחשב את שטח המלבן ולהכפיל ב -2.

ישר חלל שווה חלל ישר B שטח. רווח ישר h שטח שווה למרחב 40 שטח ישר ישר שטח. רווח 10 חלל ישר m שטח שווה לחלל 400 ישר ישר m ריבוע שטח חלל 2 ישר ישר x רווח 400 רווח ישר m בכוחו של 2 רווח קצה אקספוננציאלי שווה לחלל 800 רווח ישר m עד כיכר

לכן, שטח הגג הכולל הוא 800 מ '.². אם כל מטר מרובע דורש 20 אריחים, בעזרת כלל פשוט של שלושה אנו מחשבים כמה אריחים ממלאים את הגג של כל מחסן.

שורת שולחן עם תא עם 1 רווח ישר קצה בריבוע של התא מינוס תא עם 20 אריחי שטח סוף של שורה עם תא עם 800 רווח ישר m קצה של ריבוע מינוס x שורה עם ריק ריק שורה עם ישר x שווה לתא עם מניין 20 אריחי שטח שטח ישר x שטח 800 שטח באלכסון מחוצה מעל ישר m בריבוע סוף השביתה מעל מכנה 1 רווח חצה באלכסון מעל ישר m ריבוע קצה של חצה קצה שבר קצה קו התא עם ישר x שווה לתא עם 16000 אריחי רווח סוף תא קצה שולחן

לכן יהיה צורך לקנות 16 אלף אריחים.

ראה גם: אזור מלבן

שאלה 11

מרסיה הייתה רוצה ששני אגרטלי עץ זהים יקשטו את הכניסה לביתה. מכיוון שהיא יכלה לרכוש רק את אחד המועדפים עליה, היא החליטה להעסיק ארון לבנות אגרטל נוסף באותו המידות. האגרטל חייב להיות בעל ארבעה צדדים בצורת טרפז שווה שוקיים והבסיס הוא ריבוע.