דמיון של משולשים: תרגילים שהוגשו ופתרו

ה דמיון משולש משמש למציאת המידה הלא ידועה של משולש אחד על ידי הכרת המידות של משולש אחר.

כאשר שני משולשים דומים, המידות של צדיהם המקבילים הן פרופורציונליות. קשר זה משמש לפתרון בעיות גיאומטריות רבות.

לכן, נצל את התרגילים שהוגשו ונפתרו כדי לפתור את כל הספקות שלך.

הבעיות נפתרו

1) חניך המלח - 2017

ראה איור למטה

בניין מטיל צל באורך של 30 מ 'על הקרקע באותו רגע שבו אדם בן מטר וחצי מטיל צל של 2.0 מ'. ניתן לומר שגובה הבניין שווה

א) 27 מ '
ב) 30 מ '
ג) 33 מ '
ד) 36 מ '
ה) 40 מ '

ראה תשובה

אנו יכולים לשקול כי הבניין, הצל המוקרן שלו וקרן השמש יוצרים משולש. כמו כן, יש לנו גם משולש שנוצר על ידי האדם, הצל שלו וקרן השמש.

בהתחשב בכך שקרני השמש מקבילות וכי הזווית בין הבניין לקרקע לאדם היא הקרקע שווה ל 90 מעלות, המשולשים, המצוינים באיור למטה, דומים (שתי זוויות שווים).

מכיוון שהמשולשים דומים, אנו יכולים לכתוב את הפרופורציה הבאה:

חלופה: א) 27 מ '

2) Fuvest - 2017

באיור, למלבן ABCD יש צלעות באורך AB = 4 ו- BC = 2. תן M להיות נקודת האמצע של הצד ו- N נקודת האמצע של הצד . הקטעים ליירט את הקטע בנקודות E ו- F בהתאמה.

שטח המשולש AEF שווה ל-

ראה תשובה

ניתן למצוא את שטח המשולש AEF על ידי הקטנת שטח המשולש ABE מאזור המשולש AFB, כמוצג להלן:

נתחיל במציאת השטח של משולש ה- AFB. לשם כך עלינו לברר את ערך הגובה של המשולש הזה, כידוע ערך הבסיס (AB = 4).

שים לב שמשולשים AFB ו- CFN דומים בכך שיש להם שתי זוויות שוות (מקרה AA), כפי שמוצג באיור להלן:

בואו נתווה את הגובה ח '₁, יחסית לצד AB, במשולש AFB. מכיוון שהמדד של צלע CB שווה ל- 2, אנו יכולים לשקול שהגובה היחסי של צלע NC במשולש FNC שווה ל- 2 - H₁.

לאחר מכן נוכל לכתוב את הפרופורציה הבאה:

לדעת את גובה המשולש, אנו יכולים לחשב את שטחו:

כדי למצוא את השטח של המשולש ABE, יהיה עליך גם לחשב את ערך הגובה שלו. לשם כך נשתמש בעובדה שמשולשי ABM ו- AOE, המצוינים באיור למטה, דומים.

בנוסף, משולש OEB הוא משולש ימין ושתי הזוויות האחרות שוות (45º), כך שהוא משולש שווה שוקיים. לפיכך, שתי הרגליים של המשולש הזה שוות H₂, כמו התמונה למטה:

לפיכך, הצד AO של המשולש AOE שווה ל- 4 - H_2. בהתבסס על מידע זה, אנו יכולים לציין את הפרופורציה הבאה:

בידיעת ערך הגובה, כעת ניתן לחשב את שטח המשולש ABE:

לפיכך, שטח המשולש AFE יהיה שווה ל:

חלופה: ד)

3) Cefet / MG - 2015

האיור הבא מייצג שולחן ביליארד מלבני, שרוחבו ואורכו שווים 1.5 ו- 2.0 מ ', בהתאמה. שחקן חייב לזרוק את הכדור הלבן מנקודה B ולהכות בכדור השחור בנקודה P, מבלי לפגוע באף אחר, קודם. מכיוון שהצהוב נמצא בנקודה A, שחקן זה ישליך את הכדור הלבן לנקודה L, כך שהוא יכול להקפיץ ולהתנגש בשחור.

אם זווית נתיב ההופעה של הכדור בצד השולחן וזווית הקפיצה שווים, כפי שמוצג באיור, אז המרחק בין P ל- Q, בס"מ, הוא בערך

א) 67
ב .70
74) 74
81

ראה תשובה

המשולשים, המסומנים באדום בתמונה למטה, דומים, מכיוון שיש להם שתי זוויות שוות (זווית שווה ל- α וזווית שווה ל 90 °).

לכן אנו יכולים לכתוב את הפרופורציה הבאה:

חלופה: א) 67

4) המכללה הצבאית / RJ - 2015

במשולש ABC הנקודות D ו- E שייכות בהתאמה לצדדים AB ו- AC והן כאלה ש- DE / / BC. אם F היא נקודה של AB כך ש EF / / CD והמדידות של AF ו- FD e הם, בהתאמה, 4 ו- 6, המדידה של הקטע DB היא:

א) 15.
ב) 10.
ג) 20.
ד) 16.
ה) 36.

ראה תשובה

אנו יכולים לייצג את המשולש ABC, כפי שמוצג להלן:

מכיוון שהקטע DE מקביל לפנה"ס, אז המשולשים ADE ו- ABC דומים בכך שהזוויות שלהם חופפות.

לאחר מכן נוכל לכתוב את הפרופורציה הבאה:

משולשים FED ו- DBC דומים גם הם, מכיוון שהקטעים FE ו- DC מקבילים. לפיכך, הפרופורציה הבאה נכונה גם:

בידוד ה- y בפרופורציה זו, יש לנו:

החלפת ערך y בשוויון הראשון:

חלופה: א) 15

5) Epcar - 2016

ארץ בצורת משולש ימני תחולק לשני חלקות על ידי גדר שנעשתה על חציית ההיפוטנוזה, כפי שמוצג באיור.

ידוע שצידי AB ו- BC של שטח זה מודדים, בהתאמה, 80 מ 'ו- 100 מ'. לפיכך, היחס בין היקף חלקה I להיקף חלקה II, לפי הסדר הזה, הוא

ראה תשובה

כדי לגלות את היחס בין ההיקפים, עלינו לדעת את הערך של כל הצדדים של איור I ושל איור II.

שים לב שהחצץ של ההיפוטנוזה מחלק את הצד לפני הספירה לשני מקטעים תואמים, כך שמקטעי CM ו- MB נמדדים 50 מ '.

מכיוון שמשולש ABC הוא מלבן, אנו יכולים לחשב את הצד AC באמצעות משפט פיתגורס. עם זאת, שימו לב שמשולש זה הוא משולש פיתגוראי.

לפיכך, ההיפוטנוזה שווה ל- 100 (5. 20) ושתי רגליים אחת שוות ל 80 (4.20), ואז הרגל השנייה יכולה להיות שווה ל 60 (3.20) בלבד.

זיהינו גם שמשולשים ABC ו- MBP דומים (מקרה AA), מכיוון שיש להם זווית משותפת והשני שווה ל 90 °.

לכן, כדי למצוא את הערך של x נוכל לכתוב את הפרופורציה הבאה:

ניתן למצוא את הערך של z בהתחשב בפרופורציה:

אנו יכולים גם למצוא את הערך של y על ידי ביצוע:

כעת, כשאנו מכירים את כל הצדדים, אנו יכולים לחשב את ההיקפים.

היקף של איור I:

היקף של איור II:

לכן, היחס בין ההיקפים יהיה שווה ל:

חלופה: ד)

6) האויב - 2013

בעל החווה מעוניין להניח מוט תמיכה כדי לאבטח טוב יותר שני עמודים באורכים השווים ל -6 מ 'ו -4 מ'. האיור מייצג את המצב האמיתי בו מתוארים העמודים על ידי הקטעים AC ו- BD והמוט מיוצג על ידי קטע EF, כולם בניצב לקרקע, אשר מסומן על ידי קטע קו ישר א.ב. הקטעים AD ו- BC מייצגים כבלים מפלדה שיותקנו.

מה צריך להיות הערך של אורך המוט EF?

א) 1 מ '
ב) 2 מ '
ג) 2.4 מ '
ד) 3 מ '
ה) 2 M

ראה תשובה

כדי לפתור את הבעיה, בואו נקרא לגובה הגזע כ- z והמדידות של מקטעי AF ו- FB של איקס ו yבהתאמה, כמוצג להלן:

משולש ADB דומה למשולש AEF בכך שלשתיהן יש זווית השווה ל- 90 ° וזווית משותפת, ולכן הן דומות במקרה של AA.

לכן אנו יכולים לכתוב את הפרופורציה הבאה:

מכפילים "בצלב", אנו מקבלים את השוויון:

6x = h (x + y) (I)

מצד שני, גם המשולשים ACB ו- FEB יהיו דומים, מאותן סיבות שהוצגו לעיל. אז יש לנו את הפרופורציה:

פותר באותו אופן:

4y = h (x + y) (II)

שימו לב שלמשוואה (I) ו- (II) יש ביטוי זהה אחרי סימן השוויון, כך שנוכל לומר ש:

6x = 4y

החלפת הערך של x במשוואה השנייה:

חלופה: ג) 2.4 מ '

7) Fuvest - 2010

באיור, משולש ABC מלבני עם צלעות BC = 3 ו- AB = 4. בנוסף, נקודה D שייכת לעצם הבריח. הנקודה E השייכת לעצם הבריח ונקודה F שייכת להיפוטנוזה , כזה ש- DECF הוא מקבילית. אם אז השטח של מקבילית DECF שווה

ראה תשובה

שטח המקבילית נמצא על ידי הכפלת ערך הבסיס בגובה. בואו נקרא h לגובה ו- x למדוד הבסיס, כפי שמוצג להלן:

מכיוון ש- DECF הוא מקבילית, צלעותיו מקבילות שתיים-שתיים. באופן זה, הצדדים AC ו- DE מקבילים. אז הזוויות הם אותו דבר.

לאחר מכן נוכל לזהות כי המשולשים ABC ו- DBE דומים (מקרה AA). יש לנו גם שההיפוטנוזה של משולש ABC שווה ל- 5 (משולש 3,4 ו- 5).

בדרך זו, בואו נכתוב את הפרופורציה הבאה:

כדי למצוא את המידה x של הבסיס, נשקול את הפרופורציה הבאה:

לחישוב שטח המקבילית יש לנו:

חלופה: א)