קונוס: מה זה, אלמנטים, שטח, נפח, תרגילים

קוֹנוּסזו דמות גיאומטרית נוצר על ידי איחוד אזור מעגלי עם נקודה שאינה שייכת למישור ההוא. אנחנו יכולים גם לראות את זה כ מהפכה מוצקהכלומר, להפוך א משולש מלבן סביב רגליהם, נוצר קונוס בחלל.

למרות שהם מפנים אותנו אליו פירמידות, נראה שלחרוטים אין אלמנטים רבים כמוהם, למשל: קצוות, אפותמות או אזורי פנים.

קרא גם: מידות של מוצק גיאומטרי: למדו מהן

מה זה חרוט?

שקול מעגל A הכלול במישור ונקודה P שאינה שייכת למישור זה. בהתבסס על זה, חרוט הוא האיחוד של כל הקטעים עם הקצוות ב- A ו- P..

אלמנטים אייקונים

שקול את החרוט הבא כדי להתבונן באלמנטים שלו.

• בסיס קונוס: מעגל המטוס עם מרכז O ורדיוס r.
• קודקוד חרוט: נקודה P.
• גובה קונוס: h, המרחק בין פסגת החרוט לבסיס. זכור כי הגובה תמיד ניצב למישור המכיל את הבסיס, כלומר הזווית בין הגובה לבסיס חייבת להיות 90 °.
• Generatrix: g, כל קטע קו המצטרף לקודקוד לאחד מקצות היקף הבסיס.

סיווג קונוסים

הקונוסים מסווגים לשתי קבוצות: קונוסים ישרים ו קונוסים אלכסוניים. בואו נגיד שקונוס ישר כאשר השלכת קודקודו חופפת למרכז הבסיס, כלומר למרכז הבסיס הֶקֵף, ראה את התמונה.

בחרוט הישר, שים לב שמדידות הגנרטריקס תמיד שוות וראה ש- POB יוצר a משולש ישר זווית, לפיכך, בו משפט פיתגורס זה תקף.

(PB)² = (PO)² + (OB)²

ז² = h² + r²

אחרת, החרוט נקרא אלכסוני.

כאשר, בחרוט ישר, המשולש שנוצר בתוכו הוא שְׁוֵה צְלָעוֹת, זה בערך א קונוס שווה צדדי, וערך הגנרטריקס הוא כפול מהרדיוס, כלומר:

g = 2 · r

אזור חרוט

שטח החרוט נקבע על בסיס תכנון סולידי, וכמו בפירמידות, גם השטח הכולל של המוצק ניתן על ידי סכום השטח הרוחבי (A_שם) עם שטח הבסיס (A_ב), לכן:

מכיוון שהבסיס הוא מעגל, שטחו הוא:

ה_ב = π. ר²

בו r הוא המדד של בָּרָק r של ההיקף.

האזור לרוחב הוא מגזר מעגלי וניתן למצוא אותו בשתי דרכים, ראו:

• שטח צד בהתאם לזווית המגזר המעגלי

ה_שם = θ. ז²
2

בו הזווית q היא הזווית המרכזית של המגזר הנמדדת ברדיאנים ו- g הוא המדד של הגנרטריקס.

קונוסים הם מוצקים גיאומטריים שקיימים מאוד בחיי היומיום שלנו, אנו יכולים למצוא אותם בגביעי גלידה, קונוסי תנועה וכו '.

• שטח הצד כפונקציה של אורך קשת המגזר המעגלי

ה_שם = π. א. ז

בו r הוא המידה של רדיוס האזור לרוחב, ו- g, המידה של הגנרטריקס.

לכן, שטח החרוט ניתן על ידי:

ה_{קוֹנוּס} = א_ב + א_שם

ה_{קוֹנוּס} = פיר² + πrg

ה_{קוֹנוּס} = πr (g + r)

נפח חרוט

נפח החרוט תלוי גם בשטח הבסיס ובגובה החרוט, ראו:

נוסחת נפח החרוט ניתנת על ידי:

ו_{קוֹנוּס} = פיר²ה
3

יודע יותר: קובייה ונפח מקבילי: למד כיצד לחשב

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - לקונוס ישר יש גנרטריקס השווה ל -5 ס"מ וגובהו 3 ס"מ. קבע את הממוצעים של השטח והנפח הכולל של חרוט זה.

פִּתָרוֹן

בתחילה, אנו מציירים את החרוט הזה עם הנתונים המסופקים.

כדי למצוא את ערך השטח והנפח של החרוט, ראשית יש צורך לקבוע את ערך הרדיוס של הבסיס. לשם כך נשתמש במשפט פיתגורס.

5² = 3² + r²

25 = 9 + r²

25 - 9 = r²

ר² = 16

r = 4 ס"מ

לפיכך, השטח והנפח הם, בהתאמה:

ה_{קוֹנוּס} = πr (g + r) ⇒ A_{קוֹנוּס} = 4π (5 + 4) ⇒ A_{קוֹנוּס} = 36π ס"מ²

ו_{קוֹנוּס} = פיר²ה ⇒ V._{קוֹנוּס} = π4²3 ⇒ V._{קוֹנוּס} = 16π ס"מ³
3 3