תרגילי מספר מורכבים: רשימת שאלות נפתרות ומשוב

אתה מספרים מסובכים לאפשר לפתור בעיות מתמטיות שאין להם פתרונות במכלול מספרים אמיתיים.

במספר מורכב שנכתב כ $\ dpi {120} z = a + bi$ , אנחנו אומרים את זה $\ dpi {120} עד$ הוא החלק האמיתי, $\ dpi {120} ב$ הוא החלק הדמיוני ו $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ זו היחידה הדמיונית.

להופיע פעולות עם מספרים מורכבים, ישנם כמה ביטויים המקלים על החישובים. לשקול $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ ו $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

ביטוי תוספת בין מספרים מורכבים:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

ביטוי של חיסור בין מספרים מורכבים:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

ביטוי הכפל בין מספרים מורכבים:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

ביטוי לחלוקה בין מספרים מורכבים:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 }אני$

להלן רשימה של שאלות שנפתרו בעזרת תרגילים על מספרים מורכבים. למד להשתמש בכל אחד מהמושגים הכוללים מספרים אלה!

אינדקס

רשימת תרגילים על מספרים מורכבים
פתרון שאלה 1
פתרון שאלה 2
פתרון שאלה 3
פתרון שאלה 4
פתרון שאלה 5
פתרון שאלה 6
פתרון שאלה 7
פתרון שאלה 8

רשימת תרגילים על מספרים מורכבים

שאלה 1. בהתחשב במספרים המורכבים $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ ו $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ לקבוע את הערך של $\ dpi {120} א$ , מתי $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

שאלה 2. מצא את הערכים של $\ dpi {120} x$ ו $\ dpi {120} y$ כך ש $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

שאלה 3. בהתחשב במספרים המורכבים $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ו $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , לקבוע את הערך של $\ dpi {120} A \ cdot B$ , מתי $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ ו $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

שאלה 4. חשב את הערך של $\ dpi {120} עמ '$ ו $\ dpi {120} ש$ בשביל מה $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , מתי $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ו $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

שאלה 5. קבע את הערך של $\ dpi {120} עד$ בשביל מה $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ להיות מספר דמיוני טהור.

שאלה 6. חשב את כוחות היחידה הדמיוניים הבאים $\ dpi {120} i$ :

ה) $\ dpi {120} i ^ {16}$
ב) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
ד) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

שאלה 7. מצא את הפתרון למשוואה $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ במערך המספרים המורכבים.

instagram story viewer

שאלה 8. קבע את הפתרון של המשוואה $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ במערך המספרים המורכבים.

פתרון שאלה 1

יש לנו $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ ו $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ ו $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ ואנחנו רוצים לקבוע את הערך של $\ dpi {120} א$ , מתי $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

ראשית, בואו נחשב $\ dpi {120} 4z_3$ ו $\ dpi {120} 3z_1$ , בנפרד:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

עכשיו בואו נחשב $\ dpi {120} א$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

פתרון שאלה 2

אנו רוצים למצוא את x ו- y כך $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

על ידי ביטוי הסכום בין שני מספרים מורכבים, עלינו:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

אז חייבים להיות לנו $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ ו $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . בואו נפתור את שתי המשוואות הללו כדי למצוא את x ו- y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Right Right x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

פתרון שאלה 3

יש לנו $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ו $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ ואנחנו רוצים לקבוע את הערך של $\ dpi {120} A \ cdot B$ , מתי $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ ו $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

ראשית, אנו מחשבים $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

על ידי ביטוי של הכפל בין שני מספרים מורכבים, עלינו:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

עכשיו בואו נחשב $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

לָכֵן, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

פתרון שאלה 4

אנו רוצים לחשב את הערך של $\ dpi {120} עמ '$ ו $\ dpi {120} ש$ בשביל מה $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , מתי $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ו $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

זה אומר למצוא $\ dpi {120} עמ '$ ו $\ dpi {120} ש$ אז זה:

בדוק כמה קורסים בחינם

קורס חינוך מקוון כולל בחינם
ספריית צעצועים מקוונת וקורס למידה בחינם
קורס משחקי מתמטיקה מקוונים חינם בחינוך לגיל הרך
קורס סדנאות תרבות פדגוגיות מקוונות חינם

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

על ידי הביטוי של החלוקה בין שני מספרים מורכבים, עלינו:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

הצטרפות לשני התנאים, חייבת להיות לנו:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

כְּלוֹמַר:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

בואו נפתור כל אחת מהמשוואות הללו, החל מהשנייה שתלויה רק ב- p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

כעת אנו מוצאים את q לפי המשוואה האחרת:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

פתרון שאלה 5

אנו רוצים למצוא את הערך של $\ dpi {120} עד$ בשביל מה $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ להיות מספר דמיוני טהור.

מספר דמיוני טהור הוא כזה שחלקו האמיתי שווה לאפס.

בהתחשב בביטוי החלוקה בין שני מספרים מורכבים, יש לנו:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

כדי שהמספר הזה יהיה דמיוני טהור, עלינו לקבל:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

פתרון שאלה 6

על ידי הגדרת כוחות ומספרים מורכבים עלינו:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$