מהו גרף הפונקציות של התואר השני?

אחד כיבוש הוא כלל המתייחס לכל אלמנט של a מַעֲרֶכֶת A ליסוד יחיד של קבוצה B. כלל זה מושג בדרך כלל באמצעות ביטוי אלגברי ממש כמו א משוואה ובהתאם למידת הביטוי האלגברי הזה ולמספר המשתנים שיש לו, ניתן לבנות את הגרף שלו.

הגדרת תרשים

או גרפי של א כיבוש הוא קבוצת הנקודות (x, y) של מטוס קרטזי העומדים בתנאי הבא: y = f (x). במילים אחרות, לכל ערך של x, יש ערך יחיד של y ביחס אליו, המתקבל על ידי חוק ההיווצרות של כיבוש.

אתה גרָפִיקָה החשובים ביותר שנלמדו בבית הספר היסודי שייכים ל תפקוד מדרגה ראשונה זה מ שְׁנִיָה תוֹאַר. בתיכון, גרָפִיקָהנותןכיבוש לוגריתמית, אקספוננציאלית, טריגונומטרית וכו '. במאמר זה נדון בטכניקה בה ניתן לבנות את ה- גרפי של א כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר.

גרף פונקציות לתואר שני

אחד כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר הוא אחד שניתן לכתוב כדלקמן:

f (x) = גרזן² + bx + c

איפה a, b ו- c נמצאים מספרים אמיתיים, הנקראים מקדמים, עם תמיד לא אפס, ו- x הוא המשתנה הבלתי תלוי.

או גרפי של אלה פונקציות הוא תמיד א מָשָׁל שניתן לבנות משלוש נקודות השייכות לו: קודקוד ושני השורשים, או קודקוד ושתי נקודות "אקראיות".

1 - מציאת קודקוד הפרבולה

בְּ משלים שיכול לשמש כ גרפי של א כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר הם חייבים שקערורתם כלפי מעלה או מטה. במקרה הראשון, לפרבולה יש נקודה נמוכה יותר, שם הפונקציה כבר לא פוחתת והופכת לגוברת. במקרה השני, לפרבולה יש נקודה גבוהה יותר, שבה הפונקציה מפסיקה לעלות והולכת ופוחתת. נקודה זו נקראת קָדקוֹד.

כדי למצוא את הקואורדינטות של קודקוד V = (x_vy_v), נוכל להשתמש בנוסחאות הבאות:

איקס_v = ב
2

ו

y_v = – Δ
4

2 - מציאת שני שורשי המשל

שורשי הפונקציה הם הנקודות בהן ה- גרפי של זה כיבוש מוצא את ציר ה- x של המישור הקרטזיאני. במקרה של הפונקציות של שְׁנִיָהתוֹאַר, מספר השורשים יכול להיות 0, 1 או 2. אם לפונקציה שני שורשים, הדבר הטוב ביותר לעשות הוא להשתמש בהם בבניית הגרף.

כדי למצוא את השורשים של א כיבוששֶׁלשְׁנִיָהתוֹאַר, להשתמש ב הנוסחה של בהאסקרה. ראשית, קבע את מפלה של הפונקציה:

Δ = ב² - 4ac

ואז החלף אותו בנוסחה של בהאסקרה, כמו גם את המקדמים:

x = - b ± √?
2

הקואורדינטות של שורשי הפונקציה יהיו: A = (x ', 0) ו- B = (x' ', 0). משלושת הנקודות הללו, שני השורשים והקודקוד, פשוט הניחו אותם על המישור הקרטזיאני וחברו ביניהם באמצעות מָשָׁל. בתהליך זה, שים לב כי לפרבולה תהיה הקעורה כלפי מטה אם הקודקוד נמצא מעל ציר ה- X, או שהקיעור יהיה כלפי מעלה אם הקודקוד יהיה מתחת לציר ה- X.

בתמונה לעיל, שים לב שהראשון מָשָׁל יש לו קודקוד מתחת לציר ה- x וקיעורו פונה כלפי מעלה. ההפך קורה לפרבולה השנייה, שקודקודה נמצא מעל ציר ה- X והקעירות פונה כלפי מטה.

דוגמא:

לבנות את גרפי נותן כיבוש: f (x) = x² + 2x - 8.

הצעד הראשון הוא למצוא את קודקוד זה כיבוש. בעזרת הנוסחאות הנלמדות יהיו לנו:

איקס_v = ב
2

איקס_v = – 2
2

איקס_v = – 1

y_v = – Δ
4

y_v = - (ב² - 4ac)
4

y_v = – (2² – 4·1·[– 8])
4

y_v = – (4 + 32)
4

y_v = – (4 + 32)
4

y_v = – (36)
4

y_v = – 9

לפיכך, הקואורדינטות של ה- קָדקוֹד של זה מָשָׁל הם: V = (- 1, –9).

שימו לב שאנחנו כבר יודעים את הערך המפלה של זה כיבוש, שנעשה למצוא את y_v. Δ = 36. בעזרת הנוסחה של בהסקרה כדי למצוא את השורשים, יהיה לנו:

x = - b ± √?
2

x = – 2 ± √36
2

x = – 2 ± 6
2

x ’= – 2 – 6 = – 8 = – 4
 2 2

x '' = – 2 + 6 = 4 = 2
2 2

כך שניתן למצוא את השורשים בנקודות: A = (–4, 0) ו- B = (2, 0). סימון שלוש הנקודות הללו במישור הקרטזיאני, ואז בניית ה- מָשָׁל שעובר דרכם, יהיה לנו:

קודקוד + נקודות אקראיות

בנייה זו תקפה כאשר ה- כיבוש האם יש לו שני שורשים אמיתיים ומובהקים, כלומר מתי? > 0. כאשר כיבוש יש רק שורש אמיתי אחד, או שאין לו, אין טעם לנסות למצוא את השורשים שלך כדי לבנות את שלך גרפי.

במקרה זה, ראשית נמצא את קואורדינטותשֶׁלקָדקוֹד, אם כן, נתון x_v את קואורדינטת ה- x של קודקוד, אנו בוחרים את ערכי ה- x_v + 1 ו- x_v - 1 כ נקודות “אַקרַאִיונמצא את הערך של y הקשור לכל אחת מהנקודות הללו. התוצאות של זה יהיו נקודות V, A ו- B, בדיוק כמו השורשים, עם ההפרש שנקודות A ו- B כבר לא נמצאות על ציר ה- X.

לדוגמה, גרף את הפונקציה: f (x) = x² + 4.

זֶה כיבוש אין לו שורשים, כי הערך של? הוא פחות מאפס. במקרה זה, אנו נמצא את הקואורדינטות של קודקוד ונחשב את נקודות “אַקרַאִי”, שהוצע בעבר:

איקס_v = ב
2

איקס_v = – 0
2

איקס_v = 0

y_v = – Δ
4

y_v = - (ב² - 4ac)
4

y_v = – (0² – 4·1·4)
4

y_v = – (– 16)
4

y_v = 16
4

y_v = 4

לפיכך, V = (0, 4).

לוקח x_v = 0, נעשה: x_v + 1 = 0 + 1 = 1. החלפת ערך זה ב- כיבוש, כדי למצוא את y יחסית אליו, יהיה לנו:

f (x) = x² + 4

f (1) = 1² + 4

f (1) = 5

לכן נקודה A תהיה: A = (1, 5).

לוקח x_v = 0, נעשה גם: x_v – 1 = 0 – 1 = – 1. לָכֵן:

f (x) = x² + 4

f (- 1) = (- 1)² + 4

f (- 1) = 1 + 4

f (- 1) = 5

לכן נקודה B תהיה: B = (–1, 5).

אז ה גרפי של זה כיבוש זה יהיה:

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-grafico-funcao-2-grau.htm