מהם מספרים מורכבים?

עד אמצע המאה ה -16, משוואות כמו x² - 6x + 10 = 0 פשוט נחשבו "ללא פיתרון". הסיבה לכך היא שעל פי הנוסחה של בהאסקרה, כאשר פותרים משוואה זו, התוצאה שנמצאה תהיה:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

הבעיה נמצאה ב- √– 4, שאין לה פיתרון בתוך מכלול המספרים האמיתיים, כלומר לא יש מספר ממשי שמכפיל את עצמו מניב √– 4, שכן 2 · 2 = 4 ו- (-2) (- 2) = 4.

בשנת 1572, רפאל בומבלי היה עסוק בפתרון המשוואה x³ - 15x - 4 = 0 באמצעות הנוסחה של Cardano. באמצעות נוסחה זו, מסיקים כי למשוואה זו אין שורשים אמיתיים, מכיוון שבסופו של דבר יש צורך לחשב √– 121. עם זאת, לאחר מספר ניסיונות, ניתן למצוא כי 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 ולכן ש- x = 4 הוא שורש של משוואה זו.

בהתחשב בקיומם של שורשים אמיתיים שלא באו לידי ביטוי בנוסחה של קרדאנו, היה לבומבי הרעיון להניח ש- √– 121 יביא ל- √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 וזה יכול להיות שורש "לא אמיתי" למשוואה מְחוֹשָׁב. לפיכך, √– 121 יהיה חלק מסוג חדש של מספר המרכיב את שורשיה הלא מבוססים האחרים של משוואה זו. אז המשוואה x³ - 15x - 4 = 0, שיש לו שלושה שורשים, יהיה x = 4 כשורש האמיתי ושני שורשים אחרים השייכים לסוג חדש זה של המספר.

בסוף המאה ה -18, גאוס כינה מספרים אלה בשם מספרים מסובכים. באותה תקופה, המספרים המורכבים כבר קיבלו את הטופס a + bi, עם i = √– 1. יתר על כן, ה ו ב הם כבר נחשבו לנקודות של מטוס קרטזי, המכונה מטוס הארגנד-גאוס. לפיכך, למספר המורכב Z = a + bi היה הייצוג הגיאומטרי שלו נקודה P (a, b) של המישור הקרטזיאני.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

לכן הביטוי "מספרים מסובכים"התחיל לשמש בהתייחס למערכת המספרית שנציגיה הם: Z = a + bi, עם i = √– 1 ועם ה ו ב השייכת למכלול המספרים האמיתיים. ייצוג זה נקרא צורה אלגברית של מספר מורכב Z.

מכיוון שמספרים מורכבים נוצרים על ידי שני מספרים ממשיים ואחד מהם מוכפל ב √– 1, המספרים האמיתיים הללו קיבלו שם מיוחד. בהתחשב במספר המורכב Z = a + bi, a הוא "החלק האמיתי של Z" ו- b הוא "החלק המדומה של Z". מתמטית נוכל לכתוב בהתאמה: Re (Z) = a ו- Im (Z) = b.

רעיון המודול של מספר מורכב מתגבש באופן אנלוגי לרעיון המודול של מספר ממשי. בהתחשב בנקודה P (a, b) כייצוג גיאומטרי של המספר המורכב Z = a + bi, המרחק בין הנקודה P לנקודה (0,0) ניתן על ידי:

| Z | = √(ה² + ב²)

דרך שנייה לייצג מספרים מורכבים היא באמצעות צורה קוטבית או טריגונומטרית. צורה זו משתמשת במודול של מספר מורכב בחוקתה. ניתן לייצג את המספר המורכב Z, באופן אלגברי Z = a + bi, בצורה הקוטבית על ידי:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

מעניין לציין כי המישור הקרטזיאני מוגדר על ידי שני קווים אורתוגונליים, המכונים צירי x ו- y. אנו יודעים כי ניתן לייצג מספרים אמיתיים על ידי קו שעליו ממוקמים כל המספרים הרציונליים. החללים הנותרים מלאים במספרים הלא רציונליים. ואילו המספרים האמיתיים הם כולם בקו המכונה ציר X מהמישור הקרטזיאני, כל שאר הנקודות השייכות למישור זה יהיו ההבדל בין מספרים מורכבים למספרים ממשיים. לפיכך, קבוצת המספרים האמיתיים כלולה בקבוצת המספרים המורכבים.

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

סילבה, לואיז פאולו מוריירה. "מהם מספרים מורכבים?"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.