מהו חוק קוסינוס?

ה חוק קוסינוס הוא יחס טריגונומטרי נהג להתייחס לצדדים ו זוויות על אחד משולש כל אחד, כלומר המשולש ההוא שלא בהכרח זווית ישרה. שים לב למשולש ABC הבא עם המדדים המודגשים:

ה חוֹקמקוסינוסים יכול להינתן על ידי אחד מהבאים ביטויים:

ה² = ב² + ג² - 2 · b · c · cosα

ב² = ה² + ג² - 2 · a · c · cosβ

ç² = ב² + ה² - 2 · b · a · cosθ

תַצְפִּית: אין צורך לשנן שלוש נוסחאות אלה. רק דע כי ה חוֹקמקוסינוסים תמיד ניתן לבנות. שים לב, בביטוי הראשון, כי α היא הזווית שמול הצד שמדידתו ניתנת על ידי ה. אנו מתחילים את הנוסחה בריבוע בצד הנגדי של הזווית שתשמש בחישובים. זה יהיה שווה לסכום הריבועים של שני הצדדים האחרים, פחות כפול מהתוצר של שני הצדדים שאינם מנוגדים לזווית זו על ידי קוסינוס של α.

באופן זה ניתן לצמצם את שלוש הנוסחאות לעיל ל:

ה² = ב² + ג² - 2 · b · c · cosα

כל עוד אנו יודעים ש"ה" היא המדידה בצד הנגדי של "α", וכי "b" ו- "c" הם המדידות של שני הצדדים האחרים של משולש.

הפגנה

בהינתן משולש כל ABC, עם הצעדים המודגשים באיור הבא:

שקול את המשולשים ABD ו- BCD שנוצרו על ידי הגובה BD של המשולש ABC. משתמש ב משפט פיתגורס ב- ABD יהיה לנו:

ç² = x² + h²

ה² = ג² - איקס²

באמצעות אותו משפט עבור משולש BCD, יהיה לנו:

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

ה² = y² + h²

ה² = ה² - y²

לדעת שיש² = ג² - איקס², תהיה לנו:

ç² - איקס² = ה² - y²

ç² - איקס² + y² = ה²

ה² = ג² - איקס² + y²

הערה בתמונה של משולש כאשר b = x + y, כאשר y = b - x. החלפת ערך זה בתוצאה שהושגה לפני כן, יהיה לנו:

ה² = ג² - איקס² + y²

ה² = ג² - איקס² + (b - x)²

ה² = ג² - איקס² + ב² - 2bx + x²

ה² = ג² + ב² - 2bx

עדיין מסתכל על הדמות, שים לב ש:

cosα = איקס
ç

c · cosα = x

x = c · cosα

החלפת תוצאה זו בביטוי הקודם, יהיה לנו:

ה² = ג² + ב² - 2bx

ה² = ג² + ב² - 2b · c · cosα

זה בדיוק הראשון מבין שלושת הביטויים שהוצגו לעיל. את השניים האחרים ניתן להשיג באופן אנלוגי לזה.

דוגמא - ב משולש ואז לחשב את המידה של x.

פִּתָרוֹן:

משתמש ב חוֹקמקוסינוסים, שים לב ש- x היא המדידה של הצד שמול זווית 60 °. לכן, "המספר" הראשון שמופיע בפתרון צריך להיות זה:

איקס² = 10² + 10² - 2 · 10 · 10 · cos60 °

איקס² = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °

איקס² = 200 - 200 · cos60 °

איקס² = 200 – 200·1
2

איקס² = 200 – 100

איקס² = 100

x = ± √100

x = ± 10

מכיוון שאין אורכים שליליים, התוצאה צריכה להיות רק הערך החיובי, כלומר x = 10 ס"מ.

מאת לואיז מוריירה
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

סילבה, לואיז פאולו מוריירה. "מהו חוק קוסינוס?"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.