גיאומטריה אנליטית הוא ענף המתמטיקה הלומד את גיאומטריה מישורית ו מֶרחָבִי באמצעות תהליכים אלגבריים. המשמעות היא שהכלל גֵאוֹמֶטרִיָהאוקלידית ניתן ללמוד באמצעות הנהלים שנקבעו על ידי גֵאוֹמֶטרִיָהאנליטיים. באופן זה היא יוצרת עבור הגיאומטריה האוקלידית טכניקות חדשות שניתן להשתמש בהן להוכחת משפטים, ליצור ולהוכחת תכונות וכו '.
יסודות הגיאומטריה האנליטית
הצעד הראשון שיש לנקוט כדי ללמוד את גֵאוֹמֶטרִיָהאוקלידית (שטוח ומרחבי), דרך תביעה משפטיתאַלגֶבּרִי, היא ליצור מנגנונים להכנסת ה- אַלגֶבּרָה במשמעת ההיא. לצורך כך משתמשים בשורת המספרים כך שנקודות ספציפיות מייצגות מספרים אמיתיים ייחודי. אז ה מֶרְחָק בין כל נקודה של ציר המספרים ומקורו הוא מספר ממשי ביחס למיקום אותה נקודה על הקו. ניתן לקרוא למספר אמיתי זה נקודת תיאום.
לוקח שני סטרייטים אֲנָכִי שנמצאים במקור, אפשר למצוא את המיקום של כל נקודה בתוך המישור שנוצר על ידם באמצעות זוג מסודר, שהוא הסט של שני קואורדינטות, כל אחד ביחס לאחד השורות שהגדירו זֶה שָׁטוּחַ. כנ"ל לגבי שלושה קווים אורתוגונליים שנפגשים במקורותיהם: הם יוצרים מרחב תלת מימדי, בו ניתן לקבוע את מיקומה של כל נקודה באמצעות מונחים מסודרים.
או שָׁטוּחַ המתואר לעיל, שנוצר על ידי שני קווים בניצב שנפגשים במקורותיהם, נקרא שָׁטוּחַקרטזי. תוכנית זו היא המרחב הראשון בו אנו חוקרים את גֵאוֹמֶטרִיָהאנליטיים.
כל כך הרבה ב יָשָׁר כמה ב שָׁטוּחַ וב מֶרחָב, אפשר להגדיר את מרחק בין שתי נקודות. זֶה מֶרְחָק מוגדר כאורך ה- קטע ישר שמחבר ביניהם. כעת דמיין מישור קרטזי ועליו הנקודות A (0, 0), B (0, 1), C (1, 1) ו- D (1, 0). נקודות אלה יוצרות ריבוע, וניתן לראות זאת באיור הבא:
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
הזוויות הפנימיות של הדמות שנוצרו על ידי הנקודות לעיל כולן ישרות, וה- מֶרְחָק בין שתי נקודות רצופות שווה תמיד ליחידה אחת.
לכן, המושג מֶרְחָקבין לביןשתייםנקודות הוא אחד החשובים מכל גֵאוֹמֶטרִיָהאנליטיים. תפיסה זו מאפשרת מהגדרת אלמנטים מסוימים, כגון אורך קטע הקו, ועד להפגנת משפטים חשובים של גיאומטריה.
מרחק בין שתי נקודות
כאמור, המושג מֶרְחָקבין לביןשתייםנקודות הוא אחד החשובים מבין גֵאוֹמֶטרִיָהאנליטיים. בריבוע בתמונה הקודמת, המרחקים שהוצגו היו קווים ישרים במקביל לציר ה- X או לציר ה- Y, אך ניתן לחשב את המרחק בין כל שתי נקודות במישור הקרטזיאני.
לשם כך, בואו נפנה לאלגברה. בהתחשב בנקודות A (xהyה) ו- B (xבyב), אנו יודעים כי מֶרְחָק בין שתי הנקודות הללו אורכו של קטע AB. שימו לב לפלח זה באיור הבא:
ההשלכות של נקודות A ו- B על הצירים יוצרות משולש ABC, שהוא מלבן ב- C. שים לב שאורך המקטע AC שווה ל- xב - איקסה, וכי אורך הקטע לפני הספירה ניתן על ידי yב - yה. ניתן להשיג את אורך קטע AB באמצעות משפט פיתגורס:
תוצאה זו המתקבלת היא הנוסחה לחישוב ה- מֶרְחָקבין לביןשתייםנקודות על התוכנית.
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:
סילבה, לואיז פאולו מוריירה. "מהי גאומטריה אנליטית?"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-geometria-analitica.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.
