בְּ פונקציות טריגונומטריותהם הפונקציות סינוס, קוסינוס ומשיק. כל הפונקציות הטריגונומטריות מתייחסות לערך של זָוִית במעלות או ברדיאנים עם ערך היחס הטריגונומטרי, קשר שניתן לעשות באמצעות חקר המחזור הטריגונומטרי. בעזרת המחקר האישי של כל אחת מהפונקציות הטריגונומטריות, ניתן לייצג גרף, עיין בסימן הפונקציה עבור כל אחד מההרבעים, בין שאר התכונות חָשׁוּב.
קרא גם: 4 הטעויות ביותר שנעשו ב tנוקשות בסיסית
מהן פונקציות טריגונומטריות?
הפונקציות הטריגונומטריות הנפוצות ביותר הן פונקציית הסינוס, פונקציית הקוסינוס ופונקציה המשיקה. המחקר שלהם קשור ל מחזור טריגונומטרי.
לכל ערך זווית יש ערך סינוס וקוסינוס ייחודי. פונקציות טריגונומטריות אינן יותר מ- היחס בין הזווית לערך היחס הטריגונומטרי לזווית זו. זכור כי ניתן לתת את הערך של זווית זו ברדיאנים או במעלות וכי הערך של סינוס וקוסינוס הוא תמיד a מספר ממשי בין -1 ל -1.
שים לב בתמונה ש, לכל זווית, הקוסינוס והסינוס מודיםM ערך. זה מבוסס על המחקר של כל אחת מהפונקציות הטריגונומטריות שאנו מתבוננים בקשר בין ערך הזווית לערך היחס הטריגונומטרי.
קרא גם: מהן הזוויות המדהימות?
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
פונקציה קוסינוס
פונקציית הקוסינוס היא הפונקציה f: R → R, שחוק ההיווצרות שלו הוא f(x) = cos (x). כמו הקוסינוס של זווית הוא תמיד מספר שבין 1 ל -1ואז -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
תְחוּם
תחום הפונקציה הקוסינוס הוא סט מספרים אמיתייםמכיוון שאין הגבלה על הערך של x, כאשר x היא הזווית ברדיאנים. עבור כל מספר אמיתי, אתה יכול למצוא את הערך של cos (x), כך ש- D.f= א.
תמונה
אנו יודעים כי תחום הנגד של פונקציית הקוסינוס הוא קבוצת המספרים האמיתיים, אולם כאשר אנו מנתחים את דימוי הפונקציה, ניתן לראות שהיא תמיד ערך גדול או שווה ל- -1 ופחות או שווה ל- 1מכיוון שלמחזור הטריגונומטרי יש רדיוס 1, כך שהערך הגדול ביותר שתפקוד הקוסינוס יכול לקחת הוא 1, וכמו כן, הערך הקטן ביותר שהוא יכול לקחת הוא -1. Im = [-1, 1]
גרף תפקודי קוסינוס
הגרף של פונקציית הקוסינוס הואהכיל בין לבין הסטרייטיםy = -1 ו y = 1. זכור שזה קורה מכיוון שתמונת הפונקציה היא תמיד מספר שבין -1 ל -1 ויש לה חלק הולך וגדל וחלק הולך ופוחת, כפי שנראה בהמשך:
על ידי התאמת ערך הזווית לערך היחס הטריגונומטרי, ניתן לראות זאת בגרפיקה יש התנהגות מחזוריתכלומר ההתנהגות תמיד חוזרת על עצמה מעת לעת. הגרף של פונקציית הקוסינוס מכונה קוסינוס.
אוֹת
אנו יודעים שבמחזור הטריגונומטרי, ה- לקוסינוס יש ערכים חיובייםברבעי I ו- IV. הרבע הראשון הוא בין 0 ל -90 מעלות, והרביע הרביעי הוא בין 270 ל -360 מעלות. ברדיאנים, הפונקציה חיובית לערכים של x בין 0 ל- π / 2 ובין 3π / 2 ל -2π.
לפונקציה הקוסינוס יש ערכים שלילייםברביעים II ו- IIIכלומר הזווית היא בין 90 ל -270. ברדיאנים, כדי שתפקוד הקוסינוס יהיה שלילי, x הוא בין π / 2 ל- 3π / 2.
תקופת תפקוד קוסינוס
לגרף הפונקציה הקוסינוס יש a תקופת 2π. בניתוח אפשר לראות שהגרף כלול בטווח שבין 0 ל -2π. עבור ערכים לפני או אחרי טווח זה, הגרף חוזר.
שִׁוּוּי
פונקציית הקוסינוס נחשבת א פונקציה אפילו, שכן יש סימטריה בגרף ביחס לציר y. כאשר פונקציה נחשבת לאחידה, עלינו לעשות זאת f (x) = f (-x), כלומר cos (x) = cos (-x).
קשתות מדהימות של פונקציית הקוסינוס
בואו נסתכל על ערך הקוסינוס עבור הזוויות העיקריות:
ראה גם: סיקנט, קוסנט וקוטנגנס - יחסים טריגונומטריים הפוכים של סינוס, קוסינוס ומשיק
פונקציית סינוס
פונקציית הקוסינוס היא הפונקציה f: R → R, שחוק ההיווצרות שלו הוא f(x) = חטא (x). כמו סינוס של זווית, בדיוק כמו קוסינוס, הוא תמיד מספר שבין 1 ל -1ואז -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
תְחוּם
תחום פונקציית הסינוס הוא מכלול המספרים האמיתיים. הפונקציה f(x) = sin (x) מוגדר עבור כל המספרים האמיתיים, ולכן D.f= א.
תמונה
לתמונת פונקציית הסינוס יש ערך מקסימלי ב f(x) = 1 וערך מינימלי כאשרf (x) = -1. אז התמונה של הפונקציה היא הטווח האמיתי [-1, 1].
גרף פונקציית סינוס
הגרף של פונקציית הסינוס הוא מוגבל גם על ידי הקווים האופקיים y = -1 ו- y = 1. ההתנהגות דומה לזו של פונקציית הסינוס התקופתית, עם מרווחים הולכים וגדלים ומרווחים יורדים. ראה את הייצוג הגרפי של פונקציית הסינוס במישור הקרטזיאני להלן:
הגרף של פונקציית הסינוס הוא גם תקופתי ומכונה סינוס.
אוֹת
שלא כמו פונקציית הקוסינוס, פונקציית הסינוס יש ערכים חיוביים בס רָבִיעַס I ו- II ראשית, כלומר לזוויות שבין 0 ° ל -180 °. ברדיאנים, הפונקציה חיובית לערכים שבין 0 ל- π.
לפונקציית הסינוס יש ערכים שלילייםב IIאני ו IV רָבִיעַסכלומר הזווית היא בין 180 ל -360. ברדיאנים, כדי שתפקוד הסינוס יהיה שלילי, x הוא בין π ל -2π.
תקופת תפקוד קוסינוס
לגרף של פונקציית הסינוס יש a תקופה של 2π. המשמעות היא שאחרי או לפני המרווח בין 0 ל -2π, הגרף הוא תקופתי, כלומר הוא חוזר על עצמו.
שִׁוּוּי
פונקציית הסינוס נחשבת א כיבוש imזוג, שכן קיימת סימטריה בגרף ביחס לחציית הרביעים המוזרים. כאשר פונקציה נחשבת מוזרה, עלינו לעשות זאת f (x) = -f (x), כלומר sin (-x) = -sin (x).
קשתות בולטות של פונקציית הסינוס
בואו נסתכל על ערך הסינוס עבור הזוויות העיקריות:
פונקצית משיק
אנחנו יודעים את זה המשיק הוא ה סיבה בין סינוס לקוסינוס. בניגוד לשתי הפונקציות הטריגונומטריות הקודמות, לפונקציה המשיקה אין ערך מקסימלי ולא מינימלי. כמו כן, יש הגבלות על התחום, אך חוק היווצרות הפונקציה המשיקה הוא f(x) = שזוף (x).
תְחוּם
לפונקציה המשיקה יש מגבלות על התחום שלה, שכן היא נוצרת על ידי היחס בין הסינוס לקוסינוס, אין ערכים למשיק כאשר cos (x) = 0. בשקילה במחזור הטריגונומטרי בין 0 ל -360 מעלות, פונקציית המשיק אינה מוגדרת בזוויות 90 ו -270, מכיוון שאלו הם הערכים שבהם הקוסינוס שווה ל -0. כשיש זוויות הגדולות ממהפכה מלאה אחת, כל אלה שערך הקוסינוס הוא 0 אינם חלק מתחום הפונקציה הקוסינוס.
תמונה
שלא כמו פונקציית הסינוס ופונקציה הקוסינוס, הדימוי של פונקציית המשיק הוא מכלול המספרים האמיתייםכלומר, הוא אינו מוגבל ואין לו ערך מקסימלי או מינימלי. Im = R.
גרף פונקציות משיק
פונקציית המשיק היא גם מחזורית כמו הפונקציות הסינוס והקוסינוס, כלומר היא חוזרת על עצמה תמיד. כאשר אנו משווים:
אוֹת
פונקציית המשיק יש ערך חיובי לרבעים המוזרים, כלומר אני ו III רביעים. לזוויות בין 0 ל 90 מעלות ולזוויות בין 180 ל -270 מעלות, לפונקציה יש ערכים חיוביים. ברדיאנים הערך של x חייב להיות בין 0 ל- π / 2 או π ו- 3π / 2.
קורס זמן
תקופת הפונקציה המשיקה שונה גם מפונקציות הסינוס והקוסינוס. או תקופת פונקציית המשיק היא π.
שִׁוּוּי
פונקציית המשיק é פונקציה מוזרהכי שזוף (-x) = -טאן (x), אז יש סימטריה בגרף ביחס למקור ה מטוס קרטזיאני.
קשתות מדהימות של פונקציית המשיק
בואו נסתכל על הערך המשיק לזוויות העיקריות:
ראה גם: כיצד למצוא סינוס וקוסינוס של זוויות משלימות?
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (האויב 2017) קרני אור השמש מגיעות אל פני אגם ויוצרות זווית x עם פניו, כפי שמוצג באיור.
בתנאים מסוימים, ניתן להניח שעוצמת האור של קרניים אלה, על פני האגם, יינתן בקירוב על ידי I (x) = k · sin (x), כאשר k הוא קבוע, ובהנחה ש- X הוא בין 0 ° ל- 90º.
כאשר x = 30º, עוצמת האור מופחתת לאיזה אחוז מהערך המרבי שלה?
א) 33%
ב) 50%
ג) 57%
ד) 70%
ה) 86%
פתרון הבעיה
חלופה ב '
בטווח שבין 0º ל- 90º, לפונקציית הסינוס יש את הערך הגבוה ביותר שלה כאשר x = 90º, לכן עלינו:
i = k · sin (90º)
i = k · 1
אני = k
כעת, כאשר x = 30º, עלינו:
i = k · בלי (30)
i = k · 1/2
i = k / 2
שים לב שעוצמת i הופחתה בחצי, כלומר 50%.
שאלה 2 - (Enem 2015) על פי המכון הברזילאי לגיאוגרפיה וסטטיסטיקה (IBGE), מוצרים עונתיים הם אלה המציגים מחזורים מוגדרים היטב של ייצור, צריכה ומחיר. בקצרה, ישנם זמנים בשנה שבהם זמינותה בשווקים קמעונאיים מועטה, עם מחירים גבוהים, לפעמים זה בשפע, עם מחירים נמוכים יותר, המתרחש בחודש הייצור המקסימלי של קְצִיר. מסדרה היסטורית נצפה כי ניתן לתאר את המחיר P, ב reais, של הקילוגרם של מוצר עונתי מסוים:
כאשר x מייצג את חודש השנה, כאשר x = 1 המשויך לחודש ינואר, x = 2, עם חודש פברואר, וכן הלאה, עד x = 12, המשויך לחודש דצמבר.
בקציר, חודש הייצור המרבי של מוצר זה הוא
א) ינואר.
ב) אפריל.
ג) יוני.
ד) יולי.
ה) אוקטובר.
פתרון הבעיה
חלופה ד
הקציר מודה בייצור מרבי כאשר המחיר הוא הנמוך ביותר, אנו יודעים כי פונקציית הקוסינוס מניחה את ערכה המינימלי כאשר cos (x) = -1.
הזווית שיש לה ערך cos -1 היא הזווית π. אז טיעון הזווית צריך להיות שווה ל- π, ולכן עלינו:
חודש 7 הוא חודש יולי.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
