הסתברות הוא תחום במתמטיקה החוקר את סיכויים שאירוע יתרחש בניסוי אקראי. ניתן להשתמש בהסתברות לחישוב הסיכויים של תוצאה נתונה בהקפה או אפילו הסיכויים שמישהו יזכה בלוטו.
ההסתברות המתמטית מיוצגת על ידי קבוצת המספרים שבין 0 ל -1:
- כאשר לאירוע יש הסתברות 0, התרחשותו היא בלתי אפשרית,
- כאשר ההסתברות לאירוע היא 1, האירוע הזה יקרה בוודאות.
כיצד מחשבים את ההסתברות?
כדי לחשב את ההסתברות, חלק את מספר התרחשויות האירוע הצפויות במספר האירועים הכולל בניסוי אקראי. לדוגמא, אם היינו רוצים לחשב את ההסתברות שמטבע שנזרק על הקרקע ייפול כשה"כתר "כלפי מעלה, היינו:
- אפשרות אחת (1) להתרחשות האירוע הרצוי לנו: "כתר",
- שתי (2) אפשרויות אירוע סה"כ: "ראשים" ו"זנבות ".
אז אנחנו מפצלים 1/2 ויש לנו הסתברות "זנבות" של 1/2 או 50%.
נוסחת הסתברות
כדי להבין טוב יותר כיצד לחשב את ההסתברות, עיין בנוסחה:
איפה:
- P (E) = הסתברות להתרחשות אירוע AND
- n (E) = המספר הכולל של התרחשות האירוע E.
- n (S) = מספר המופעים של שטח הדגימה S.
לפני שתסתכל על דוגמאות מעשיות לחישובים, הבן כמה מושגי הסתברות בסיסיים:
ניסוי אקראי
ניתן לחשב את ההסתברות רק במקרים של ניסויים אקראיים, כלומר במצבים בהם לא ניתן לקבוע או לחזות את התוצאה..
דוגמה אחת לניסוי אקראי היא גלגול מת. אם המקל אינו מכור (עם משקל רב יותר על אחד הפרצופים, למשל), לא ניתן לקבוע איזה פנים ייפול עם הפנים כלפי מעלה, כלומר, תוצאת הגלגול תלויה במקרה.
דוגמא נוספת תהיה שקית מלאה בכדורים כחולים וצהובים באותו גודל ומשקל. על ידי בחירה באחד הכדורים באופן אקראי, מבלי לראות אותם, אין דרך לדעת אם ייצא כדור כחול או צהוב, ולכן הניסוי הזה הוא אקראי.
שטח לדוגמא
שטח המדגם הוא סט של כל התוצאות האפשריות בניסוי אקראי. לדוגמא, כאשר אנו מגלגלים תבנית, רווח הדגימה (S) מיוצג על ידי כל הערכים של המט, כלומר: (S) = {1,2,3,4,5,6}.
שטח הדגימה, אם כן, הוא הסט של כל פני המת, שכן 6 הפרצופים הם 6 האפשרויות להתרחש לאחר גלגול. לפיכך, למרות שלא ניתן לחזות את התוצאה, אנו יודעים שהיא תהיה במרחב המדגם.
מִקרֶה
אירוע (E) הוא קבוצת משנה של שטח הדגימה (S). כאשר מגלגלים מת, ניתן לקבוע את אירוע המספר 5, E = {5}, או מספר זוגי, E = {2,4,6}.
סוגי אירועים
אירוע נכון: אירוע מסוים הוא זה שמייצג את שטח המדגם עצמו (E = S) וזה יקרה בוודאות. לאחר גלגול המתה הרגילה (עם מספרים מ -1 ל -6), הסיכוי לגלגל מספר טבעי הוא 100%, שכן כל המספרים מ -1 ל -6 הם טבעיים.
אירוע בלתי אפשרי: אירוע בלתי אפשרי הוא אירוע שיש לו סיכוי של 0% לקרות. כאשר מגלגלים תבנית סטנדרטית, הסיכוי לגלגל את המספר 8 הוא אפס, שכן למת אין פנים עם המספר 8.
אירועים משלימים: אירועים משלימים הם אלה שבהם הצומת בין האירועים מיוצג על ידי מערך ריק והאיחוד מיוצג על ידי מערך המדגם כולו.
ההסתברות להתרחשות של מספר זוגי ומאחד מספר אי - זוגי כאשר זורקים מת, הם אירועים משלימים, שכן סכום ההתרחשויות של שני האירועים הללו מיוצג על ידי 6 האפשרויות: E = {1,2,3,4,5,6}.
במקרה זה לא יהיה צומת, שכן מספר לא יכול להיות שווה ומשונה בו זמנית.
תרגילי הסתברות
בואו נתאמן באמצעות נוסחת ההסתברות עם דוגמה:
- כאשר מגלגלים מת, מה הסבירות להתרחשות האירועים הבאים:
א) מספר מוזר:
ישנן שלוש אפשרויות לקבל מספר אי זוגי: E = {1,3,5}. במקרה זה, n (E) = 3. אם מספר האפשרויות הכולל n (S) = 6, יש לנו:
P (E) = 3/6
P (E) = 1/2 או 50%
במקרה כזה, יש סיכוי של 50% שמספר אי זוגי ייצא.
ב) מספר 5:
יש רק אפשרות אחת להשיג את המספר 5, אז n (E) = 1. בהתחשב במספר האפשרויות הכולל n (S) = 6, יש לנו:
P (E) = 1/6
P (E) = 0.166 או 16.6%
במקרה זה, יש סיכוי של 16% שהמספר 5 יתגלגל בעת גלגול מת.
שימו לב שכפי שאמרנו בתחילת הטקסט, ההסתברות תמיד תהיה מספר שבין 0 ל -1, כאשר 1 מייצג סיכוי של 100% להתרחשות אירוע ו- 0, חוסר האפשרות להתרחש של מִקרֶה.
ראה גם את המשמעות של חֶשְׁבּוֹן, אֲחוּזִים ו גֵאוֹמֶטרִיָה.
