ה ממוצע גיאומטרי יחד עם הממוצע האריתמטי והממוצע ההרמוני פותחו על ידי האסכולה הפיתגוראית. בְּ סטטיסטיקה זה די נפוץ לחפש ייצוג של מערך נתונים לפי ערך יחיד לקבלת החלטות. אחת האפשרויות לערך המרכזי היא הממוצע הגיאומטרי.
זה שימושי לייצוג קבוצה שיש נתונים שמתנהגים קרוב ל- a התקדמות גיאומטרית, גם כדי למצוא את הצד של כיכר וקוביה, תוך הכרת השטח והנפח בהתאמה. הממוצע הגיאומטרי מוחל גם ב- מצבים של הצטברות של אחוז עלייה או ירידה. כדי לחשב את הממוצע הגיאומטרי של קבוצה של ערכי n, אנו מחשבים את השורש התשיעי של תוצר היסודותכלומר, אם לסט יש שלושה מונחים, למשל, נכפיל את השלושה ונחשב את השורש הקובי של המוצר.
נוסחה ממוצעת גיאומטרית
הממוצע הגיאומטרי משמש למציאת a ערך ממוצע בין סט נתונים. כדי לחשב את הממוצע הגיאומטרי, יש צורך בערכה עם שני אלמנטים או יותר. תן ל- A להיות קבוצת נתונים A = (x1, איקס2, איקס3,... איקסלא), קבוצה עם n אלמנטים, הממוצע הגיאומטרי של קבוצה זו מחושב על ידי:
קרא גם: אמצעי פיזור: משרעת וסטייה
חישוב ממוצע גיאומטרי
תן A = {3,12,16,36}, מה יהיה הממוצע הגיאומטרי של הסט הזה?
פתרון הבעיה:
כדי לחשב את הממוצע הגאומטרי, תחילה אנו סופרים את מספר המונחים בערכה, במקרה n = 4. אז עלינו:
שיטה 1: ביצוע הכפלות.
מכיוון שלא תמיד יש לנו מחשבון זמין לביצוע כפלות, ניתן לבצע את החישוב על פי פקטורציה של a מספר טבעי.
שיטה 2: פרוק לגורמים.
באמצעות הגורמים הגורמים עלינו:
יישומים של ממוצע גיאומטרי
ניתן להחיל את הממוצע הגיאומטרי על כל מערך נתונים סטטיסטי, אך בדרך כלל הוא כזה עובד ב גֵאוֹמֶטרִיָה, כדי להשוות צלעות של מנסרות וקוביות באותו נפח, או ריבועים ומלבנים מאותו האזור. יש גם יישום ב בעיות מתמטיות פיננסיות הכוללים אחוז אחוז מצטבר, כלומר אֲחוּזִים תחת אחוזים. מלבד היותו הממוצע הנוח ביותר לנתונים שמתנהגים כמו התקדמות גיאומטרית.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
דוגמה 1: יישום באחוזים.
למוצר, במשך שלושה חודשים, נרשמו עליות רצופות, הראשון היה 20%, השני 10% והשלישי 25%. מה הייתה העלייה הממוצעת באחוזים בסוף תקופה זו?
פתרון הבעיה
המוצר עלה בתחילה ב 100%, בחודש הראשון הוא התחיל לעלות 120%, שבצורתו העשרונית כתוב כ 1.2. נימוק זה יהיה זהה לשלוש העליות, ולכן אנו רוצים את הממוצע הגיאומטרי בין: 1.2; 1,1; ו 1.25.
העלייה היא 18.2% לחודש בממוצע.
ראה גם: אחוז חישוב עם כלל שלוש
דוגמה 2: יישום בגיאומטריה.
מה צריך להיות הערך של x בתמונה, בידיעה שיש אז לריבוע ולמלבן אותו שטח?
פתרון הבעיה:
כדי למצוא את ערך x הצד של הריבוע, נחשב את הממוצע הגיאומטרי בין צידי המלבן.
לכן, צד הריבוע הוא 12 ס"מ.
דוגמה 3: התקדמות גיאומטרית.
מהם המונחים של P.G. בידיעה שקודמו של הערך המרכזי הוא x, הערך המרכזי הוא 10 והיורש של הערך המרכזי הוא 4x.
פתרון הבעיה:
אנו מכירים את התנאים של P.G. (x, 10.4x) ואנחנו יודעים שהממוצע הגיאומטרי בין היורש לקודמו שווה למונח המרכזי של ה- P.G., ולכן עלינו:
ההבדל בין ממוצע גיאומטרי לממוצע אריתמטי
בסטטיסטיקה, אופן הפעולה של הנתונים חשוב מאוד לבחירת ערך יחיד שייצג אותם. לכן ישנם סוגים של אמצעים מרכזיים וישנם סוגי מדיה.
הבחירה באיזה ממוצע להשתמש חייבת להיעשות תוך התחשבות בערכת הנתונים עליה אנו עובדים. כפי שנראה בדוגמה, אם מדובר בנתונים שמתנהגים קרוב להתקדמות גיאומטרית ויש להם את הצמיחה האקספוננציאלית ביותר, מומלץ הממוצע הגיאומטרי.
במצבים אחרים, בעיקר אנו משתמשים ב- ממוצע חשבון, למשל, המשקל הממוצע של אדם במהלך השנה. כאשר משווים חישוב של שני סוגים של ממוצע לאותו מערך נתונים, הגיאומטריה תמיד תהיה קטנה יותר מהחשבון.
כאשר אנו משווים את הנוסחה הממוצעת החשבונית עם הנוסחה הממוצעת הגיאומטרית, אנו מבחינים בהפרש, כפי שמחושב הראשון סכום המונחים מחולקה לפי כמות התנאיםבעוד שהשני, כפי שראינו, מחושב על ידי השורש ה- n של המוצר של כל המונחים.
דוגמה 4: בהינתן הסט (3, 9, 27, 81, 243), תבין שמדובר ב- P.G. של היחס 3, מכיוון שהמונח הראשון לשני אנו מכפילים בשלוש, גם מהשני לשלישי וכן הלאה. כשמחפשים ערך מרכזי שייצג קבוצה זו, באופן אידיאלי זה צריך להיות המונח המרכזי של ההתקדמות, שקורה אם נחשב את הממוצע הגיאומטרי. עם זאת, בעת חישוב הממוצע החשבוני, ערכים גדולים יותר גורמים לערך של ממוצע זה להיות גבוה מדי ביחס ל תנאי הסט וככל שהערך גדול יותר, כך רחוק יותר מייצוג של המונח המרכזי, הממוצע האריתמטי יהיה.
פתרון הבעיה:
ממוצע חשבון ראשון
ממוצע גיאומטרי שני
גישה גם: אופנה, ממוצעת וחציוןא - אמצעי מרכזיות
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - מחיר הבנזין בברזיל עבר עליות גדולות בחודשים האחרונים. העליות החודשיות בארבעת החודשים האחרונים היו, בהתאמה, 9%, 15%, 25% ו -16%. מה הייתה העלייה הממוצעת בתקופה זו?
א) 15%
ב) 15.5%
ג) 16%
ד) 14%
ה) 14.5%
פתרון הבעיה
חלופה א
שאלה 2 - מנסרה עם בסיס מלבני היא בעלת נפח זהה לקוביה. בידיעה שמידות הפריזמה ארוכות 6 ס"מ, גובה 20 ס"מ ורוחבה 25 ס"מ, מה ערך צד הקוביה בסנטימטרים?
פתרון הבעיה:
חלופה ד
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
