חוקי קפלר בתנועה פלנטרית פותחו בין השנים 1609 - 1619 על ידי האסטרונום והמתמטיקאי הגרמני יוהנס קפלר. שלושת החוקים של קפלר, נהגו לתאר את מסלולים מכוכבי הלכת של מערכת השמש, נבנו על בסיס מדידות אסטרונומיות מדויקות, שהושגו על ידי האסטרונום הדני. טיכו ברהה.
מבוא לחוקי קפלר
תרומות שהשאירו ניקולה קופרניקוס באזור של אַסטרוֹנוֹמִיָה נשבר עם החזון גיאוצנטריסט של היקום, הנגזר מהמודל הפלנטרי של קלאודיו תלמי. המודל שהציע קופרניקוס, אף שהיה מורכב, איפשר את נְבוּאָה וה הֶסבֵּר במסלולים של מספר כוכבי לכת, לעומת זאת, היו בו כמה פגמים, שהדרמטי שבהם היה הסבר מספק למסלולו החוזר של מאדים בתקופות מסוימות בשנה.
ראה גם:היסטוריה של אסטרונומיה
פתרון הבעיות הבלתי מוסברות על ידי המודל הפלנטרי של קופרניקוס הגיע רק במאה ה -17, בידי יוהנס קפלר. לשם כך הודה קפלר שהמסלולים הפלנטריים אינם מעגליים לחלוטין, אלא דווקא סְגַלגַל. ברשותו של נתונים אסטרונומיים מדויקים ביותר, שבוצעו על ידי בראה, קפלר קבע שני חוקים השולטים בתנועת כוכבי הלכת, כעבור 10 שנים היא פרסמה חוק שלישי, המאפשר לאמוד את תקופת המסלול או אפילו את רדיוס המסלול של כוכבי הלכת שמסתובבים סביב שֶׁל שמש.
חוקי קפלר
חוקי התנועה הפלנטרית של קפלר מכונים: חוק מסלולים אליפטיים,חוק תחומים ודיני תקופות. יחד אלה מסבירים כיצד פועלת התנועה של כל גוף המקיף כוכב מסיבי, כגון כוכבי לכת אוֹ כוכבים. בואו לבדוק מה נאמר בחוקי קפלר:
החוק הראשון של קפלר: חוק מסלולים
ה החוק הראשון של קפלר קובע שמסלול כוכבי הלכת המסתובבים סביב השמש אינו מעגלי אלא אליפטי. יתר על כן, השמש תופסת תמיד את אחד ממוקדי אליפסה זו. אם כי אליפטי, ישנם מסלולים כמו כדור הארץ קרוב מאוד למעגל, שכן הם אליפסות שיש להן תִמהוֹנִיוּתהַרבֵּהקטן. תמהון, בתורו, הוא המדד שמראה עד כמה דמות גיאומטרית שונה מ- מעגל וניתן לחשב אותו על ידי הקשר בין צירי חצי האליפסה.
"מסלול כוכבי הלכת הוא אליפסה בה השמש תופסת את אחד המוקדים."
החוק השני של קפלר: חוק האזורים
החוק השני של קפלר קובע כי הקו הדמיוני המחבר את השמש לכוכבי הלכת המקיפים אותה גורף אזורים במרווחי זמן שווים. במילים אחרות, חוק זה קובע כי המהירות בה נסחף האזורים זההכלומר מהירות ההילה של המסלולים קבועה.
"הקו הדמיוני המחבר את השמש לכוכבי הלכת המקיפים אותה חוצה שטחים שווים במרווחי זמן שווים."
החוק השלישי של קפלר: חוק תקופות או חוק הרמוניה
החוק השלישי של קפלר קובע כי הריבוע של תקופת מסלול כדור הארץ (T²) הוא פרופורציונלי ישירות לקוביית המרחק הממוצע שלו מהשמש (R³). יתר על כן, היחס בין T² ל- R3 יש אותו גודל בדיוק עבור כל הכוכבים שמקיפים את הכוכב הזה.
"היחס בין ריבוע התקופה לקוביית הרדיוס הממוצע של מסלול כוכב הלכת קבוע."
הביטוי המשמש לחישוב החוק השלישי של קפלר מוצג להלן, בדוק זאת:
ט - תקופת מסלול
ר - רדיוס ממוצע של המסלול
הסתכל על הדמות הבאה, בה אנו מראים את הצירים העיקריים והקטנים של מסלול פלנטרי סביב השמש:
הרדיוס הממוצע של המסלול, המשמש לחישוב החוק השלישי של קפלר, ניתן על ידי הממוצע בין הרדיוס המקסימלי למינימום. המיקומים המוצגים באיור, המאפיינים את המרחק הגדול ביותר והקצר ביותר של כדור הארץ מהשמש, נקראים אפליון ופריהליון, בהתאמה.
כאשר כדור הארץ מתקרב ל פריהליון, שלך מהירות מסלולית עולה, מאז האצת הכבידה של השמש מתעצמת. באופן זה, לכדור הארץ יש מקסימום אנרגיה קינטית כאשר ליד פריהליון. כשהוא מתקרב לאפליון, הוא מאבד אנרגיה קינטית ובכך מהירות מסלולו מופחתת למידה הקטנה ביותר.
יודע יותר: האצת כוח משיכה - נוסחאות ותרגילים
הנוסחה המפורטת יותר של החוק השלישי של קפלר מוצגת להלן. שים לב שהיחס בין T² ל- R3 נקבע אך ורק על ידי שני קבועים, המספר pi וקבוע הכבידה האוניברסלי, וגם על ידי ה- פסטה של השמש:
ז - קבוע של כוח משיכה אוניברסלי (6.67.10-11 N.m² / ק"ג²)
M - מסת השמש (1,989.1030 ק"ג)
חוק זה לא הושג על ידי קפלר, אלא על ידי אייזק ניוטון, דרך חוק הכבידה האוניברסלי. לעשות זאת, ניוטון זיהה שכוח המשיכה המשיכה בין כדור הארץ לשמש הוא א כוח צנטריפטלי. שימו לב לחישוב הבא, הוא מראה כיצד ניתן לקבל, על בסיס חוק הגרביטציה האוניברסלית, את הביטוי הכללי לחוק השלישי של קפלר:
גם יודע:מהי תאוצה צנטריפטלית?
בדוק את הטבלה הבאה, בה אנו מראים כיצד המידות של T² ו- R³ משתנות, בנוסף ליחסם, עבור כל אחד מכוכבי הלכת במערכת השמש:
כוכב לכת |
רדיוס מסלול ממוצע (R) ב- AU |
תקופה בשנים ארציות (T) |
T² / R³ |
כַּספִּית |
0,387 |
0,241 |
1,002 |
וֵנוּס |
0,723 |
0,615 |
1,001 |
כדור הארץ |
1,00 |
1,00 |
1,000 |
מַאְדִים |
1,524 |
1,881 |
1,000 |
צדק |
5,203 |
11,860 |
0,999 |
שַׁבְתַאִי |
9,539 |
29,460 |
1,000 |
אוּרָנוּס |
19,190 |
84,010 |
0,999 |
נפטון |
30,060 |
164,800 |
1,000 |
הרדיוס הממוצע של המסלולים בטבלה נמדד ב יחידות אסטרונומיות (u). יחידה אסטרונומית מתאימה ל מֶרְחָקמְמוּצָע בין כדור הארץ לשמש בערך 1,496.1011 M. בנוסף, הווריאציות הקטנות ביחסי T² לעומת R³ נובעות ממגבלות דיוק במדידות רדיוס המסלול ותקופת תִרגוּם של כל כוכב לכת.
תראהגַם: יישומי כוח צנטריפטלי - קוצים ושקעים
תרגילים על חוקי קפלר
שאלה 1) (איטה 2019) תחנת חלל, קפלר, בוחנת כוכב לכת חיצוני שללוויין הטבעי שלו יש מסלול אליפטי של חצי עיקרי א0 ותקופה T0, כאשר d = 32a0 המרחק בין התחנה לבין כוכב הלכת. אובייקט המתנתק מקפלר נמשך בכוח המשיכה לכוכב החוץ ומתחיל תנועת נפילה חופשית ממנוחה ביחס אליו. הזנחת סיבוב כוכב הלכת, אינטראקציה הכבידה בין הלוויין לאובייקט, כמו גם הממדים של כל הגופים המעורבים, מחשבים כפונקציה של T0 זמן הנפילה של האובייקט.
תבנית: t = 32T0
פתרון הבעיה:
אם ניקח בחשבון שהאקסצנטריות של המסלול האליפטי שהאובייקט יתאר שווה בערך ל -1, אנו יכולים להניח שרדיוס המסלול של האובייקט יהיה שווה למחצית המרחק בין תחנת החלל קפלר ל- כוכב לכת. בדרך זו נחשב כמה זמן האובייקט צריך להתקרב לכוכב הלכת ממצבו הראשוני. לשם כך עלינו למצוא את תקופת המסלול, וזמן הנפילה, בתורו, יהיה שווה למחצית מהזמן ההוא:
לאחר החלת החוק השלישי של קפלר, אנו מחלקים את התוצאה ב- 2, לעומת מה שאנחנו מחשבים זו הייתה תקופת המסלול, בה, במחצית הזמן, האובייקט נופל לעבר כוכב הלכת, ובמחצית השנייה, מתרחק. לפיכך, זמן הנפילה, במונחים של T0, זה אותו דבר כמו 32T0.
שאלה 2) (אודסק 2018) ניתוח הצעות הנוגעות לחוקי קפלר על תנועה פלנטרית.
אני. המהירות של כוכב לכת היא הגדולה ביותר בפריהליון.
II. כוכבי הלכת נעים במסלולים מעגליים, כאשר השמש במרכז המסלול.
III. תקופת מסלול הכוכב גדלה ברדיוס הממוצע של מסלולו.
IV. כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים, כאשר השמש נמצאת באחד המוקדים.
V. המהירות של כוכב לכת גבוהה יותר באפליון.
סמן את החלופה נכון.
א) רק ההצהרות I, II ו- III נכונות.
ב) רק האמירות II, III ו- V נכונות.
ג) רק ההצהרות I, III ו- IV נכונות.
ד) רק האמירות III, IV ו- V נכונות.
ה) רק ההצהרות I, III ו- V נכונות.
תבנית: אות ג '
פתרון הבעיה:
בואו נסתכל על החלופות:
אני - אמיתי. כאשר כוכב הלכת מתקרב לפריהליון, מהירות התרגום שלו עולה, בגלל העלייה באנרגיה הקינטית.
II - שֶׁקֶר. מסלולים פלנטריים הם אליפטיים, כאשר השמש תופסת את אחד ממוקדיהם.
III - אמיתי. תקופת המסלול היא פרופורציונאלית לרדיוס המסלול.
IV - אמיתי. קביעה זו מאושרת בהצהרת החוק הראשון של קפלר.
V - שֶׁקֶר. המהירות של כוכב לכת היא הגדולה ביותר ליד הפריהליון.
שאלה 3) (פיותיאוריות רבות אודות מערכת השמש עקבו אחר כך, עד שבמאה ה -16 ניקולאוס קופרניקוס הפולני הציג גרסה מהפכנית. עבור קופרניקוס, השמש, ולא כדור הארץ, הייתה מרכז המערכת. נכון לעכשיו, המודל המקובל למערכת השמש הוא בעצם זה של קופרניקוס, עם תיקונים שהוצעו על ידי יוהנס קפלר והמדענים הבאים.
על הכבידה וחוקי קפלר, שקול את ההצהרות הבאות, נָכוֹן (אני אעשה מְזוּיָף (ו).
אני. מאמצים את השמש כהפניה, כל כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים, כאשר השמש היא אחד ממוקדי האליפסה.
II. וקטור המיקום של מרכז המסה של כוכב לכת במערכת השמש, יחסית למרכז המסה של שמש, מטאטא אזורים שווים במרווחי זמן שווים, ללא קשר למיקום כדור הארץ במיקום שלך מַסלוּל.
III. וקטור המיקום של מרכז המסה של כוכב לכת במערכת השמש, יחסית למרכז המסה של השמש, מטאטא אזורים פרופורציונליים במרווחי זמן שווים, ללא קשר למיקומו של כדור הארץ במצבו מַסלוּל.
IV. עבור כל כוכב לכת במערכת השמש, מרווח הקוביה ברדיוס הממוצע של המסלול והריבוע של תקופת המהפכה סביב השמש קבוע.
סמן את החלופה נכון.
א) כל ההצהרות נכונות.
ב) רק ההצהרות I, II ו- III נכונות.
ג) רק ההצהרות I, II ו- IV נכונות.
ד) רק האמירות II, III ו- IV נכונות.
ה) רק ההצהרות I ו- II נכונות.
תבנית: אות ג '
פתרון הבעיה:
אני. נָכוֹן. ההצהרה היא עצם ההצהרה של החוק הראשון של קפלר.
II. נָכוֹן. ההצהרה עולה בקנה אחד עם הגדרת החוק השני של קפלר.
III. שֶׁקֶר. קביעת החוק השני של קפלר, הנובע מעיקרון שמירת המומנטום הזוויתי, מרמזת על כך שהאזורים הנסחפים שווים במרווחי זמן שווים.
IV. נָכוֹן. ההצהרה משחזרת את הצהרת החוק השלישית של קפלר, המכונה גם חוק התקופות.
על ידי רפאל הלרברוק