כדור: אלמנטים, שטח פנים, נפח

ה כַּדוּר הוא מוצק גיאומטרי שנלמד ב גיאומטריה מרחבית, להיות מסווג כגוף עגול. צורה זו שכיחה למדי בחיי היומיום, כפי שאנו רואים אותה על כדורי כדורגל, פנינים, כדור הארץ, כמה פירות, בין דוגמאות אחרות.

לוקח בחשבון הו המוצא ו- r הרדיוס, הכדור הוא קבוצת הנקודות הנמצאות במרחק השווה או פחות מהמרחק בין הרדיוס למוצא. בנוסף לרדיוס, יש לכדור אלמנטים חשובים, כמו הקטבים, קו המשווה, המרידיאן וההקבלות. אנחנו יכולים גם לחלק את הכדור לחלקים כמו הבול והציר הכדורי. השטח והנפח הכולל של כדור מחושבים על ידי נוסחאות ספציפיות שתלויים רק בערך הרדיוס של הנתון הזה.

קרא גם: הבדלים בין דמויות שטוחות ומרחביות

כדור הוא מוצק גיאומטרי המסווג כגוף עגול.

אלמנטים של כדור

אנו מכירים ככדור את כל הנקודות במרחב הנמצאות בתוך a מרחק שווה או פחות מרדיוס מקורו, כך ששני אלמנטים חשובים של דמות זו הם הרדיוס r והמקור O. הכדור מסווג כ- גוף עגול בשל צורת פני השטח שלו.

אלמנטים חשובים אחרים עבור הכדור הם הקטבים, קו המשווה, המקבילות והמרידיאן.

• מוטות: מיוצג על ידי נקודות P₁ ו פ₂, הן נקודות המפגש של הכדור עם הציר המרכזי.

• אקוודור: ההיקף הגדול ביותר שאנו מקבלים על ידי יירוט הכדור במישור אופקי. קו המשווה מחלק את הכדור לשני חלקים שווים המכונים חצי כדור.

• מקבילים: כל הֶקֵף שאנו משיגים על ידי יירוט הכדור במישור אופקי. קו המשווה, אותו הצגנו קודם, הוא מקרה מסוים של מקבילות והגדולה שבהן.

• מֵרִידִיאַן: ההבדל בין מרידיאן ומקביליות הוא שהראשון מתקבל בצורה אנכית, אך זהו גם היקף הכלול בתחום ומתקבל על ידי יירוט שָׁטוּחַ.

למידע נוסף על האלמנטים של המוצק הגיאומטרי החשוב הזה על ידי קריאה: ANDאלמנטים של כדור.

נפח כדור

חישוב הנפח של מוצקים גיאומטרייםס יש חשיבות רבה לדעתנו קיבולת של מוצקים אלה, ועם הכדור זה לא שונה, יש חשיבות רבה לחשב את נפחו עבור לדעת, למשל, את כמות הגז שנוכל להכניס למיכל כדורית, בין היתר יישומים. נפח הכדור ניתן על ידי הנוסחה:

דוגמא:

למאגר גז רדיוס השווה ל -2 מטרים, בידיעה זו, מה נפחו? (השתמש ב- π = 3.1)

משטח הכדור

אנו מכירים כמשטח הכדור את האזור שנוצר על ידי כל הנקודות שנמצאות במרחק r מהכדור. שימו לב שבמקרה זה המרחק לא יכול להיות קטן יותר, אלא שווה בדיוק ל- r. פני השטח של הכדור הם קווי המתאר מכל מוצק, המשטח מכסה את הכדור. כדי לחשב את שטח הפנים של הכדור, אנו משתמשים בנוסחה:

הt = 4 π r²

דוגמא:

בבית חולים ייבנה מאגר גז חמצן בצורת כדור. בידיעה שיש לו רדיוס של 1.5 מטר, מה יהיה שטח הפנים שלו במ"ר?

ה_t = 4 π r²

ה_t = 4 π 1,5²

ה_t = 4 π 2,25

ה_t = 9 π מ"ר

ראה גם: היינו עושיםהאם ההבדל בין מעגל להיקף?

חלקי הכדור

אנו יכולים לחלק את הכדור לחלקים, המכונים ציר, כאשר אנו רואים רק את פני השטח שלו, או כטריז, כאשר אנו שוקלים את המוצק.

• ציר כדורי

הציר הוא המשטח שנוצר על ידי סיבוב של חצי עיגול כאשר סיבוב זה (θ) הוא פחות מ -360 מעלות, כלומר כאשר 0

מכיוון שהציר הוא חלק משטח הכדור, אנו מחשבים את שטחו, אותו ניתן להסיק על ידי כלל שלושה, ונוצר את הנוסחה הבאה:

דוגמא:

חשב את שטח הציר ונפח הטריז בידיעה that = 30º ו- r = 3 מטר.

• טריז כדורי

אנו מכנים טריז כדורי את המוצק הגיאומטרי שנוצר על ידי סיבוב של חצי עיגול, כאשר סיבוב זה הוא פחות מ -360 מעלות, כלומר 0

מכיוון שהטריז הוא מוצק גיאומטרי, אנו מחשבים את נפחו, אשר, כמו גם את שטח הציר, ניתן לעשות זאת באמצעות כלל שלוש, המייצר את הנוסחה:

דוגמא:

חשב את נפח הטריז בידיעה ש- r = 4 ס"מ ו- θ = 90º:

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - כאשר ניתחו נגיף תחת מיקרוסקופ, ניתן היה לראות שיש לו שתי שכבות, בהיותן ה השכבה הראשונה שנוצרה על ידי שומן והשכבה המרכזית שנוצרה על ידי חומר גנטי, כפי שמוצג בתמונה. לעקוב אחר:

אחד האינטרסים של חוקר זה הוא לדעת את נפח שכבת השומן של נגיף זה. בידיעה שהרדיוס הגדול ביותר מודד 2 ננומטר (ננומטרים) וכי הרדיוס הקטן ביותר מודד 1 ננומטר, נפח שכבת השומן שווה ל:

(השתמש ב- π = 3)

א) 4 ננומטר

ב) 8 ננומטר

ג) 20 ננומטר

ד) 28 ננומטר

ה) 32 ננומטר

פתרון הבעיה

חלופה ד '

חישוב נפח השכבה הכחולה, כלומר השומן, זהה לחישוב ההפרש בין נפח הכדור הגדול V_AND והכדור הקטן V_ו.

כעת נחשב את נפח הכדור הקטן יותר:

אז ההבדל בין הנפחים שווה ל:

VE - Ve = 32 - 4 = 28 ננומטר

שאלה 2 - מפעל מייצר תאי אחסון, בצורת כדור, באמצעות פלסטיק מיוחד. בידיעה שהס"מ של חומר זה עולה R $ 0.07, הסכום המושקע לייצור 1,200 מחזיקי חפצים, שרדיוסם הוא 5 ס"מ, יהיה:

(השתמש ב- π = 3.14)

א) BRL 2180

ב) BRL 3140

ג) 11,314 BRL

ד) 13,188 BRL

ה) 26,376 BRL

פתרון הבעיה

חלופה E.

בואו נחשב את השטח הכולל של כדור:

ב- = 4 π r²

ב- = 4 · 3.14 · 5²

ב = 12.56 · 25

ב = 12.56 · 25

ב = 314 ס"מ ²

על ידי הכפלת 314 ב -0.07 יהיה לנו הערך של תא אחסון, כך שאם נכפיל ערך זה ב -1.2 אלף, נקבל את הסכום הכולל שהוצא.

V = 314 · 0.07 · 1200 = 26,376

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה