אתה נקודות של מַקסִימוּם זה מ מִינִימוּם מוגדרים ונדונים רק עבור פונקציות בתיכוןמכיוון שהם יכולים להתקיים בכל עקומה.
לפני, בואו נזכור: א כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר הוא כזה שניתן לכתוב בצורה f (x) = ax2 + bx + c. או גרפי של סוג זה של פונקציה הוא מָשָׁל, מי יכול לקבל את שלך קְעִירוּת עם הפנים כלפי מטה או כלפי מעלה. כמו כן, באיור זה, יש נקודה הנקראת קָדקוֹד, המיוצג על ידי האות V, שהיא יכולה להיות ה- ציוןבמַקסִימוּם או ה ציוןבמִינִימוּם של הפונקציה.
נקודה מקסימאלית
את כל כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר עם <0 יש ציוןבמַקסִימוּם. במילים אחרות, הנקודה המקסימלית אפשרית רק ב פונקציות עם הקעורה כלפי מטה. כפי שמוצג בתמונה הבאה, הנקודה המקסימלית V היא הנקודה הגבוהה ביותר של פונקציות התואר השני עם <0.
שים לב שהגרפיקה של זה כיבוש גדל עד שמגיע ל ציוןבמַקסִימוּם, לאחר מכן, הגרף הופך לירידה. הנקודה הגבוהה ביותר של פונקציית דוגמה זו היא הנקודה המקסימלית שלה. כמו כן, שים לב שאין נקודה עם קואורדינטה y הגדולה מ- V = (3, 6) וכי הערך x המוקצה לנקודה המקסימלית נמצא בנקודת האמצע של מִגזָר, שקצותיו הם שורשי התפקוד (כשהם מספרים אמיתיים).
כמו כן, זכור כי ה- ציוןבמַקסִימוּם תמיד עולה בקנה אחד עם ה- קָדקוֹד של הפונקציה עם קיעור כלפי מטה.
נקודת מינימום
את כל כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר עם מקדם a> 0 יש ציוןבמִינִימוּם. במילים אחרות, נקודת המינימום אפשרית רק בפונקציות עם קעירות כלפי מעלה. שימו לב באיור הבא כי V היא הנקודה הנמוכה ביותר של הפרבולה:
הגרף של זה כיבוש יורד עד שמגיע ל ציוןבמִינִימוּם, לאחר מכן, ממשיך לגדול. בנוסף, נקודת המינימום V היא הנקודה הנמוכה ביותר של פונקציה זו, כלומר, אין נקודה אחרת עם קואורדינטה y נמוכה מ -1. שימו לב גם שערך x הקשור ל- y בנקודת המינימום נמצא גם בנקודת האמצע של הקטע, שנקודות הסיום שלהן הם שורשי הפונקציה (כאשר הם מספרים אמיתיים).
זכור גם שה- ציוןבמִינִימוּם תמיד עולה בקנה אחד עם ה- קָדקוֹד של הפונקציה עם קעירות פונה כלפי מעלה.
נקודה מקסימאלית או מינימלית בחוק יצירת פונקציות
בידיעה שחוק ההיווצרות של כיבוששֶׁלשְׁנִיָהתוֹאַר יש את הטופס f (x) = ax2 + bx + c, אפשר להשתמש ביחסים בין המקדמים a, b ו- c כדי למצוא את הקואורדינטות של קָדקוֹד של הפונקציה. הקואורדינטות של הקודקוד יהיו בדיוק הקואורדינטות של הנקודה שלו מַקסִימוּם או של מִינִימוּם.
בידיעה ש- x מתאם של קָדקוֹד של א כיבוש מיוצג על ידי xv, יהיה לנו:
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
איקסv = ב
2
בידיעה ש- y מתאם של קָדקוֹד של א כיבוש מיוצג על ידי yv, יהיה לנו:
yv = – Δ
4
לכן, הקואורדינטות של קודקוד V יהיו: V = (xvyv).
אם ה קָדקוֹד יהיה נקודה של מַקסִימוּם או של מִינִימוּם, רק לנתח את קעירות המשל:
אם a <0, יש לפרבולה נקודת שיא.
אם a> 0, יש לפרבולה נקודת מינימום.
שימו לב שכאשר לפונקציה יש שני שורשים אמיתיים, xv יהיה בנקודת האמצע של הקטע, שקצותיו הם שורשי ה- כיבוש. אז טכניקה נוספת למצוא xv ו- yv זה למצוא את שורשי הפונקציה, למצוא את נקודת האמצע של הקו הישר המחבר ביניהם, ולהחיל את הערך על הפונקציה כדי למצוא את yv קָשׁוּר.
דוגמא:
לקבוע את קָדקוֹד של הפונקציה f (x) = x2 + 2x - 3 ואומר אם זה ציוןבמַקסִימוּם או של מִינִימוּם.
פיתרון ראשון: חשב את הקואורדינטות של ה- קָדקוֹד לפי הנוסחאות הנתונות, בידיעה ש a = 1, b = 2 ו- c = - 3.
איקסv = ב
2
איקסv = – 2
2·1
איקסv = – 1
yv = – Δ
4
yv = – (22 – 4·1·[– 3])
4·1
yv = – (4 + 12)
4
yv = – 16
4
yv = – 4
אז, V = (- 1, - 4) והפונקציה יש ציוןבמִינִימוּם, מכיוון ש = 1> 0.
פיתרון שני: מצא את השורשים של כיבוש שֶׁל שְׁנִיָהתוֹאַר, קבע את נקודת האמצע של הקטע המחבר, שיהיה xv, והחל ערך זה על הפונקציה כדי למצוא את yv.
שורשי הפונקציה, הניתנים על ידי שיטת השלמה מרובעת, הם:
f (x) = x2 + 2x - 3
0 = x2 + 2x - 3
4 = x2 + 2x - 3 + 4
איקס2 + 2x + 1 = 4
(x + 1)2 = 4
אם נעשה את השורש הריבועי על שני החברים, יהיה לנו:
√ [(x + 1)2] = √4
x + 1 = ± 2
x = ± 2 - 1
x ’= 2 - 1 = 1
x "= - 2 - 1 = - 3
קטע שעובר מ - 3 ל 1 יש לו את נקודת האמצע xv = – 1. לפרטים נוספים, בדוק את התמונה לאחר הפתרון. החלת xv בפונקציה יהיה לנו:
f (x) = x2 + 2x - 3
yv = (– 1)2 + 2(– 1) – 3
yv = 1 – 2 – 3
yv = 1 – 5
yv = – 4
תוצאות אלו הן אותם ערכים שנמצאו בפתרון הראשון: V = (- 1, - 4). בנוסף, יש לפונקציה ציוןבמִינִימוּם, מכיוון ש = 1> 0.
התמונה למטה מציגה את הגרף של זה כיבוש עם שורשיה ועם נקודת ה- V המינימלית שלה.
ראוי לציין כי הנוסחה של בהאסקרה יכולה לשמש גם למציאת שורשי הפונקציה בתוכן זה.
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
