אתה מספרים מסובכים נובעים מהצורך לפתור משוואות שיש להם שורש המספר השלילי, שעד אז לא ניתן היה לפתור באמצעות עבודה עם מספרים אמיתיים. ניתן לייצג מספרים מורכבים בשלוש דרכים: א צורה אלגברית (z = a + bi), המורכב מחלק אמיתי ה וחלק דמיוני ב; ה צורה גיאומטרית, מיוצג במישור המורכב המכונה גם מטוס ארגנד-גאוס; ושלך צורה טריגונומטרית, ידוע גם כצורה הקוטבית. בהתבסס על הייצוג שלהם, כשאנחנו עובדים עם קבוצה מספרית, למספרים מורכבים יש פעולות מוגדרות היטב: חיבור, חיסור, כפל, חלוקה ופוטנציאציה.
דרך הייצוג הגיאומטרי במישור המורכב אנו מגדירים גם את המודול (המיוצג על ידי |z|) של מספר מורכב - שהוא המרחק מהנקודה המייצגת את המספר המורכב למקור - ומה הטיעון של מספר מורכב - שהוא הזווית שנוצרת בין הציר האופקי למסלול המחבר בין המקור לנקודה המייצגת את המספר מורכב.
צורך במספרים מורכבים
במתמטיקה, הרחבת מערך מספרי למערך חדש לאורך ההיסטוריה הייתה דבר נפוץ למדי. מתברר שבמהלך זה התפתחה מתמטיקה ואז לענות על צרכי הזמן, הבחינו כי ישנם מספרים שאינם שייכים למערך המספרי שאליו הוא התייחס. זה היה ככה עם הופעתה של
סטים מספריים מספרים שלמים, רציונלים, אי רציונלים ואמיתיים, וזה לא היה שונה כאשר היה צורך להרחיב את מערך המספרים האמיתיים לזה של מספרים מורכבים.כשאנחנו מנסים לפתור משוואות ריבועיות, זה די נפוץ שאנחנו מוצאים את שורש ריבועי של מספר שלילי, שאי אפשר לפתור במכלול המספרים האמיתיים, ומכאן הצורך במספרים מורכבים. תחילת המחקר של מספרים אלה קיבלה תרומות של מתמטיקאים חשובים, כמו Giralmo Cardono, אך הסט שלהם פורמלי על ידי גאוס וארגנד.
קרא גם: ייצוג גיאומטרי של סכום המספרים המורכבים
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
צורה אלגברית של מספר מורכב
כשמנסים לפתור משוואה ריבועית כגון x² = –25, נאמר לעתים קרובות שהיא בלתי פתירה. עם זאת, בניסיון לאלגבריז, ה ייצוג אלגברי, המאפשר לבצע פעולות עם מספרים אלה, למרות שלא ניתן לחשב את השורש הריבועי של מספר שלילי.
כדי להקל על פיתרון המצבים בהם אתה עובד עם שורש ריבועי של מספר שלילי, יחידה דמיונית.
לכן, בניתוח המשוואה המוצגת x² = -25, יש לנו:
לפיכך, הפתרונות למשוואה הם -5אני e5אני.
כדי להגדיר את הצורה האלגברית, את מִכְתָב אני, ידוע כ יחידה דמיונית של מספר מורכב. מספר מורכב מיוצג על ידי:
z = ה + באני
על מה ה ו ב הם מספרים אמיתיים.
ה: חלק אמיתי, מסומן על ידי a = Re (z);
ב: חלק דמיוני, מסומן על ידי Im (z);
אני: יחידה דמיונית.
דוגמאות
ה) 2 + 3אני
ב) -1 + 4אני
ç) 5 – 0,2אני
ד) -1 – 3אני
כאשר החלק האמיתי הוא אפסהמספר ידוע בשם דמיוני טהור, למשל, -5אני ו -5אני הם דמיונות טהורים מכיוון שאין להם חלק אמיתי.
כאשר החלק הדמיוני הוא אפס, המספר המורכב הוא גם מספר ממשי.
פעולות עם מספרים מורכבים
כמו כל קבוצה מספרית, הפעולות חייבות להיות מוגדר היטבלכן ניתן לבצע את ארבע הפעולות הבסיסיות של מספרים מורכבים תוך התחשבות בצורה האלגברית המוצגת.
הוספת שני מספרים מורכבים
לבצע את חיבור של שני מספרים מורכבים z1 היי2, נוסיף את החלק האמיתי של z1 היי2 וסכום החלק הדמיוני, בהתאמה.
לִהיוֹת:
z1 = a + bאני
z2 = c + dאני
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)אני
דוגמה 1
מימוש סכום z1 וז2.
z1 = 2 + 3אני
z2 = 1 + 2אני
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)אני
z1 +z2= 3 + 5אני
דוגמה 2
מימוש סכום z1 וז2.
z1 = 5 – 2אני
z2 = – 3 + 2אני
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)אני
z1+z2 = (5 – 3) + 0אני
z1 +z2= 3 + 0אני = 3
ראה גם: ייצוג גיאומטרי של סכום המספרים המורכבים
חיסור של שני מספרים מורכבים
לפני שנדבר על חִסוּר, עלינו להגדיר מהו הפוך למספר מורכב, כלומר, z = a + bאני. ההופכי של z, המיוצג על ידי –z, הוא המספר המורכב –z = –a –bאני.
לביצוע החיסור בין z1ו- -z2, כמו גם בנוסף, אנו נעשה את חיסור בין חלקים אמיתיים ובין חלקים דמיוניים לחוד, אבל יש צורך להבין את זה -z2 זהו ההפוך של מספר מורכב, מה שמצריך את המשחק במשחק הסימנים.
דוגמה 1
ביצוע החיסור של z1 וז2.
z1 = 2 + 3אני
z2 = 1 + 2אני
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)אני
z1–z2= 1 + 1אני = 1+ אני
דוגמה 2
ביצוע החיסור של z1 וז2.
z1= 5 – 2אני
z2 = – 3 + 2אני
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)אני
z1–z2= (5 + 3) + (–4)אני
z1 –z2= 8 + (–4)אני
z1 –z2= 8 –4אני
סמכויות יחידה דמיוניות
לפני שנדבר על כפל, עלינו להבין את כוחה של היחידה הדמיונית. בחיפוש אחר שיטה לחישוב הכוחות של אנילא, יש צורך להבין שכוחות אלה מתנהגים בצורה מחזורית. לשם כך, בואו נחשב כמה פוטנציאלים ב אני.
מתברר שהכוחות הבאים הם לא יותר מאשר החזרה שלה, שים לב ש:
אני 4 = אני 2 · אני 2 = (–1) (–1) = 1
אני 5 = אני 2 · אני 3 = (–1) (–אני) = אני
כאשר אנו ממשיכים לחשב את הכוחות, התשובות תמיד יהיו אלמנטים של הסט {1, i, –1, -אני} ואז למצוא כוח של היחידה אנילא, נחלק את n (המעריך) ב- 4 ואת ה- מנוחהשל חלוקה זו (ר = {0, 1, 2, 3}) יהיה המעריך החדש של אני.
דוגמא1
חישוב i25
כאשר אנו מחלקים 25 ל -4, המרכיב יהיה 6 והיתר יהיה שווה ל -1. אז עלינו:
אני 25 = אני1 = אני
דוגמה 2
חישוב של אני 403
כאשר אנו מחלקים 403 ב- 4, המנה תהיה 100, מכיוון ש 100 · 4 = 400, והשאר יהיה 3, ולכן עלינו:
אני 403 =אני 3 = -אני
כפל מספרים מורכבים
כדי לבצע את הכפל של שני מספרים מורכבים, בואו להחיל את רכוש חלוקתי. לִהיוֹת:
z1= a + bאני
z2= c + dאניואז המוצר:
z1 · z2 = (a + bאני) (c + dאני), החלת הרכוש החלוקתי,
z1 · z2 = ac + מודעהאני + cbאני + bdאני 2, אבל כפי שראינו, אני ² = -1
z1 · z2 = ac + מודעהאני + cbאני - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)אני
באמצעות נוסחה זו, ניתן למצוא את המוצר של שני מספרים מורכבים כלשהם, אך ב- a באופן כללי, אין צורך לקשט אותו, שכן לצורך החישוב המדובר אנו רק מיישמים את הנכס מפיץ.
דוגמא
חישוב המוצר של (2 + 3אני) (1 – 4אני):
(2+3אני) (1 – 4אני) = 2 – 8אני + 3אני– 12אני ², זוכר את זה i² = -1:
(2 + 3אני) (1 – 4אני) = 2 – 8אני + 3אני+ 12
(2 + 3אני) (1 – 4אני) = (2 + 12) + (– 8 + 3)אני
(2+3אני) (1 – 4אני) = 14 – 5אני
גישה גם: חיבור מספרים מורכב, חיסור וכפל
מספר מורכב מצומד
לפני שנדבר על חלוקה, עלינו להבין מה הצמידה של מספר מורכב. הרעיון פשוט, למצוא את הצמידה של מספר מורכב, פשוט להחליףmos סימן החלק הדמיוני.
חלוקה של שני מספרים מורכבים
לבצע את חלוקה של שני מספרים מורכבים, עלינו להכפיל את השבר בצירוף המכנה כך שמהו החלק האמיתי ומהו החלק הדמיוני מוגדר היטב.
דוגמא
חישוב החלוקה של (6 - 4אני): (4 + 2אני)
ראה גם: הפוך, מצומד ושוויון של מספרים מורכבים
מישור מורכב או מטוס ארגנד-גאוס
מכונה תוכנית מורכבת או תוכניתrgand-גאוס, הוא מאפשר את ייצוג בצורה גיאומטרית של מספר מורכב, תוכנית זו היא הסתגלות ב מטוס קרטזי לייצג מספרים מורכבים. הציר האופקי מכונה ציר חלק אמיתי Re (z), והציר האנכי מכונה ציר החלק הדמיוני Im (z). אז המספר המורכב המיוצג על ידי a + bאני מייצר את הנקודות במישור המורכב שנוצר על ידי הזוג המסודר (a, b).
דוגמא
ייצוג המספר 3 + 2אני בצורה הגיאומטרית Z (3,2).
מספר מורכב מודולו וטיעון
המודול של מספר מורכב, גיאומטרית, הוא ה- מרחק מנקודה (a, b) המייצג מספר זה במישור המורכב למקורכלומר הנקודה (0,0).
כפי שאנו רואים, | z | הוא ההיפוטנוזה של משולש ישר זוויתלכן ניתן לחשב אותו על ידי יישום ה- משפט פיתגורסאז עלינו:
דוגמא:
חישוב המודול של z = 1 + 3אני
או הטַעֲנָה של מספר מורכב, גיאומטרית, הוא ה- זָוִית נוצר על ידי הציר האופקי וה- z |
כדי למצוא את ערך הזווית עלינו:
המטרה היא למצוא את הזווית θ = arg z.
דוגמא:
מצא את ארגומנט המספר המורכב: z = 2 + 2אני:
מכיוון ש- a ו- b הם חיוביים, אנו יודעים שזווית זו נמצאת ברבע הראשון, אז בואו נחשב | z |.
לדעת את | z |, אפשר לחשב את הסינוס ואת הקוסינוס.
מכיוון שבמקרה זה, a ו- b שווים ל- 2, כאשר אנו מחשבים sinθ, אנו נמצא את אותו פתרון עבור הקוסינוס.
הכרת הערכים של sinθ ו- cosθ, על ידי עיון בטבלת הזוויות הבולטות וידיעה זאת θ שייך לרבע הראשון, כך שניתן למצוא θ במעלות או ברדיאנים, כך אנו מסיקים מה:
צורה טריגונומטרית או קוטבית
הייצוג של המספר המורכב ב- צורה טריגונומטרית זה אפשרי רק לאחר שנבין את מושג המודול והוויכוח. על סמך ייצוג זה מפותחים מושגים חשובים לחקר מספרים מורכבים ברמה מתקדמת יותר. כדי לבצע את הייצוג הטריגונומטרי, נזכור את צורתו האלגברית z = a + bi, אולם כאשר אנו מנתחים את המישור המורכב, עלינו:
על ידי החלפת, בצורה אלגברית, הערכים של a = | z | cos θ ו- b = | z | sen θ, עלינו:
z = a + bאני
עם z = | z | cos θ + | z | senθ אני, לשים | z | לראיה, אנו מגיעים לנוסחה של הצורה הטריגונומטרית:
z = | z | (cos θ + אני · חטא θ) |
דוגמא: כתוב, בצורה טריגונומטרית, את המספר
כדי לכתוב בצורה טריגונומטרית, אנו זקוקים לטיעון ולמודול של z.
שלב 1 - חישוב | z |
לדעת את | z |, ניתן למצוא את הערך של θ על ידי עיון בטבלת הזוויות הבולטות.
כעת ניתן לכתוב את המספר z בצורתו הטריגונומטרית עם הזווית במעלות או עם הזווית הנמדדת ברדיאנים.
קרא גם: קרינת מספרים מורכבים בצורה טריגונומטרית
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (UFRGS) בהתחשב במספרים המורכבים z1 = (2, -1) ו- z2 = (3, x), ידוע שהתוצר שבין z1 וז2 הוא מספר ממשי. אז x שווה ל:
א) -6
ב) -3/2
ג) 0
ד) 3/2
ה) 6
פתרון הבעיה
חלופה ד '
כדי שהמוצר יהיה מספר ממשי, אז החלק הדמיוני שווה לאפס.
על ידי כתיבת המספרים הללו בצורה אלגברית, עלינו:
z1 = 2 – 1אני וז2 = 3 + xאני
z1 · Z2 = (2 – 1אני) (3 + xאני)
z1 · Z2 = 6 + 2xאני –3אני - איקסאני ²
z1 · Z2 = 6 + 2xאני –3אני + איקס
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)אני
מכיוון שהאינטרס שלנו הוא שהחלק הדמיוני שווה לאפס, אז נפתור 2x - 3 = 0
שאלה 2 - (UECE) אם i הוא המספר המורכב שהריבוע שלו שווה ל- -1, אז הערך 5אני 227 + אני 6 – אני 13 זה אותו הדבר כמו:
ה) אני + 1
ב) 4אני –1
ג) -6אני –1
ד) -6אני
פתרון הבעיה
חלופה ג '.
כדי לפתור ביטוי זה, יש למצוא את שארית כל המספרים בחלוקה לפי 4.
227: 4 מביא למנה של 56 ושאר 3.
אני 227 = אני 3 = –אני
6: 4 תוצאות במנה 1 ובשארית 2.
אני 6 = אני 2 = –1
13: 4 תוצאות במנה 3 ושאר 1.
אני 13 = אני1 = אני
אז עלינו:
5אני 227 + אני 6 – אני 13
5 (–אני) + (–1) – אני
–5אני –1 – אני
–6אני – 1
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
