משפט ד'אלמבר

משפט ד'אלמבר הוא תוצאה מיידית של משפט השאר, אשר עוסקים בחלוקת הפולינום לפי בינומי מסוג x - א. משפט השאר אומר כי לפולינום G (x) חלקי x בינומי - a יהיה לשאר R שווה ל- P (a), עבור
x = א. המתמטיקאי הצרפתי ד'אלמבר הוכיח, בהתחשב במשפט שצוטט לעיל, כי פולינום כל ש (x) יהיה מתחלק ב x - a, כלומר יתרת החלוקה תהיה שווה לאפס (R = 0) אם P (a) = 0.
משפט זה הקל על חישוב חלוקת הפולינום לפי בינומי (x –a), ולכן אין צורך לפתור את כל החלוקה כדי לדעת אם השאר שווה או שונה מאפס.
דוגמה 1
חשב את שארית החלוקה (x² + 3x - 10): (x - 3).
כפי שאומר משפט ד'אלברט, שארית (R) של חלוקה זו תהיה שווה ל:
P (3) = R.
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
אז שאר החלוקה הזו תהיה 8.
דוגמה 2
בדוק אם x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 ניתן לחלוקה ב- x - 1.
על פי ד'אלמבר, פולינום ניתן לחלוקה בינומית אם P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3-4
P (1) = - 1
מכיוון ש- P (1) אינו אפס, הפולינום לא יהיה מתחלק בבינום x - 1.
דוגמה 3
חשב את הערך של m כך ששאר חלוקת הפולינום
P (x) = x⁴ - מקס³ + פי 5² + x - 3 על ידי x - 2 הוא 6.

יש לנו את זה, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - מ * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - מ * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 מ '+ 20 + 2 - 3 = 6
- 8 מ '= 6 - 38 + 3
- 8 מ '= 9 - 38
- 8 מ '= - 29
m = 29/8
דוגמה 4
חשב את שארית החלוקה של הפולינום 3x³ + x² - 6x + 7 על 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

מאת מארק נח
בוגר מתמטיקה
צוות בית הספר בברזיל

פולינומים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm