התקדמות חשבון: מה זה, מונחים, דוגמאות

ה התקדמות חשבון (AP) הוא רצף מספרי בה אנו משתמשים כדי לתאר את התנהגותן של תופעות מסוימות במתמטיקה. ברשות הפלסטינית, צמיחה או ריקבון תמיד קבועיםכלומר, ממונח אחד למשנהו, ההבדל תמיד יהיה זהה, והבדל זה ידוע בתור סיבה.

כתוצאה מה- התנהגות צפויה של התקדמות, אתה יכול לתאר זאת מנוסחה המכונה מונח כללי. מאותה סיבה ניתן גם לחשב את סכום התנאים של הרשות הפלסטינית באמצעות נוסחה ספציפית.

קרא גם: התקדמות גיאומטרית - איך לחשב?

מהי רשות הפלסטינית?

הבנה כי הרשות הפלסטינית היא רצף של מונחים בהם ההבדל בין מונח לקודמו הוא תמיד קבוע, כדי לתאר התקדמות זו מנוסחה, עלינו למצוא את המונח הראשוני, או כלומר המונח הראשון של התקדמות, והסיבה שלה, שהיא ההבדל המתמיד הזה בין תנאים.

באופן כללי, הרשות נכתבת כדלקמן:

(ה₁, א₂,ה₃, א₄,ה₅, א₆,ה₇, א₈)

הקדנציה הראשונה היא א₁ וממנו, אל לְהוֹסִיף הסיבה r, בואו נמצא את תנאי היורש.

ה₁ + r = א₂
ה₂ + r = א₃
ה₃ + r = א₄

...

לכן, כדי לכתוב את התקדמות החשבון, עלינו לדעת מיהו המונח הראשון שלו ומדוע.

דוגמא:

בואו נכתוב את שש המונחים הראשונים של AP בידיעה שהמונח הראשון שלו הוא 4 והיחס שלו שווה ל -2. לדעת את₁ = 4 ו- r = 2, אנו מסיקים כי התקדמות זו מתחילה ב -4 ועולה מ -2 ל -2. לכן, אנו יכולים לתאר את תנאיו.

ה₁ = 4

ה₂ = 4+ 2 = 6

ה₃ = 6 + 2 = 8

ה₄ = 8 + 2 = 10

ה₅= 10 + 2 = 12

ה₆ = 12 + 2 =14

BP זה שווה ל (4,6,8,10,12,14 ...).

קדנציה כללית של הרשות הפלסטינית

תיאור הרשות הפלסטינית מנוסחה מקל עלינו למצוא את כל המונחים שלה. כדי למצוא מונח כלשהו של AP, אנו משתמשים בנוסחה הבאה:

הלא= א1 + r · (n-1)

N → הוא המיקום של המונח;

ה₁→ הוא המונח הראשון;

r → סיבה.

דוגמא:

מצא את זה קדנציה כללית של הרשות הפלסטינית (1,5,9,13, ...) והקדנציה החמישית, ה -10 וה -23.

שלב ראשון: למצוא את הסיבה.

כדי למצוא את היחס, פשוט חישבו את ההפרש בין שני מונחים עוקבים: 5 - 1 = 4; ואז, במקרה זה, r = 4.

שלב שני: למצוא את המונח הכללי.

איך נדע שה-₁= 1 ו- r = 4, בואו נחליף בנוסחה.

ה_לא= א₁ + r (n - 1)

ה_לא= 1 + 4 (n - 1)

ה_לא= 1 + 4n - 4

ה_לא= 4n - 3 → מונח כללי של PA

שלב שלישי: לדעת את המונח הכללי, בואו נחשב את המונח החמישי, העשירי וה -23.

קדנציה חמישית → n = 5
ה_לא= 4n - 3
ה₅=4·5 – 3
ה₅=20 – 3
ה₅=17

מונח 10 → n = 10
ה_לא= 4n - 3
ה₁₀=4·10 – 3
ה₁₀=40 – 3
ה₁₀=37

מונח 23 → n = 23
ה_לא= 4n - 3
ה₂₃=4·23 – 3
ה₂₃=92 – 3
ה₂₃=89

סוגי התקדמויות חשבון

יש שלוש אפשרויות לרשות הפלסטינית. זה יכול להיות גדל, יורד או קבוע.

• גָדֵל

כפי שהשם מרמז, התקדמות חשבון גוברת כאשר, ככל שהתנאים עולים, גם ערכם עולה.כלומר המונח השני גדול מהראשון, השלישי גדול מהשני וכן הלאה.

ה₁ 2 3 4 < …. לא

כדי שזה יקרה, היחס חייב להיות חיובי, כלומר PA גדל אם r> 0.

דוגמאות:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• יורד

כפי שהשם מרמז, התקדמות חשבון יורדת כאשר, ככל שהתנאים גדלים, ערכם יורדכלומר המונח השני הוא פחות מהראשון, השלישי פחות מהשני וכן הלאה.

ה₁ > ה₂ > ה₃ > ה₄ > …. > ה_לא

כדי שזה יקרה, היחס חייב להיות שלילי, כלומר PA גדל אם r <0.

דוגמאות:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• קָבוּעַ

התקדמות חשבון היא קבועה כאשר, ככל שהתנאים עולים, הערך נשאר זהה.כלומר המונח הראשון שווה לשני, השווה לשלישי וכן הלאה.

ה₁ = ה₂ = ה₃ = ה₄ = …. = א_לא

כדי ש- PA יהיה קבוע, היחס חייב להיות שווה לאפס, כלומר r = 0.

דוגמאות:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

ראה גם: תוצר של תנאי ה- PG - מהי הנוסחה?

מאפיינים של רשות

• נכס ראשון

בהינתן כל תקופת רשות, הרשות הפלסטינית מְמוּצָע חֶשְׁבּוֹן בין יורשו לקודמו שווה למונח זה.

דוגמא:

שקול את ההתקדמות (-1, 2, 5, 8, 11) ואת המונח 8. הממוצע בין 11 ל -5 שווה ל 8, כלומר סכום היורש עם קודמו של מספר ברשות תמיד שווה למספר זה.

• נכס שני

סכום המונחים השווים תמיד שווה.

דוגמא:

סכום התנאים של הרשות הפלסטינית

נניח שאנחנו רוצים להוסיף את ששת המונחים של BP המוצגים לעיל: (16,13,10,7,4,1). אנחנו יכולים פשוט להוסיף את המונחים שלהם - ובמקרה זה מעט מונחים זה אפשרי - אבל אם כן מחרוזת ארוכה יותר, עליך להשתמש במאפיין. אנו יודעים שסכום המונחים השוויוניים הוא תמיד שווה, כפי שראינו בנכס, כך שאם אנו מבצעים זאת להוסיף פעם אחת ולכפול בחצי מכמות המונחים, יש לנו את סכום שש המונחים הראשונים של מחבת.

שים לב שבדוגמה היינו מחשבים את סכום הראשון והאחרון, השווה ל- 17, כפול מחצית מכמות המונחים, כלומר 17 כפול 3, השווה ל -51.

הנוסחה של סכום התנאים של הרשות הפלסטינית הוא פותח על ידי המתמטיקאי גאוס, שהבין את הסימטריה הזו בהתקדמות חשבון. הנוסחה נכתבת באופן הבא:

ס_לא → סכום n אלמנטים

ה₁ → קדנציה ראשונה

ה_לא → קדנציה אחרונה

n → מספר מונחים

דוגמא:

חשב את סכום המספרים המשונים מ -1 עד 2000.

פתרון הבעיה:

אנו יודעים שרצף זה הוא PA (1,3,5,... 1997, 1999). ביצוע סכום יהיה עבודה רבה, ולכן הנוסחה די נוחה. מ -1 עד 2000, מחצית המספרים הם אי זוגיים, ולכן ישנם 1000 מספרים אי זוגיים.

נתונים:

n → 1000

ה₁ → 1

ה_לא → 1999

גישה גם: סכום של PG סופי - איך לעשות את זה?

אינטרפולציה של אמצעי חשבון

לדעת שני מונחים לא רצופים של התקדמות חשבון, אפשר למצוא את כל המונחים הנופלים בין שני המספרים האלה, מה שאנחנו מכירים אינטרפולציה של אמצעי חשבון.

דוגמא:

בואו נשלב 5 אמצעי חשבון בין 13 ל 55. כלומר יש 5 מספרים בין 13 ל 55 והם יוצרים התקדמות.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

כדי למצוא את המספרים הללו, יש צורך למצוא את הסיבה. אנו מכירים את הקדנציה הראשונה (₁ = 13) וגם הקדנציה השביעית (₇= 55), אך אנו יודעים כי:

ה_לא = ה₁ + r · (n - 1)

כאשר n = 7 → א_לא= 55. אנו יודעים גם את הערך של a₁=13. לכן, החלפתו בנוסחה, עלינו:

55 = 13 + r · (7 - 1)

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42: 6

r = 7.

בידיעת הסיבה נוכל למצוא מונחים שבין 13 ל 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

הרצף מ -1 עד 10 הוא התקדמות חשבון של יחס 1.

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (Enem 2012) - משחק קלפים הוא פעילות המגרה חשיבה. משחק מסורתי הוא סוליטייר, שמשתמש ב -52 קלפים. בתחילה נוצרות שבע עמודות עם הקלפים. בעמודה הראשונה קלף אחד, בשני שני קלפים, בשלישי שלושה קלפים, ברביעי ארבעה קלפים וכן הלאה. ברצף לטור השביעי, שיש בו שבעה קלפים, ומה שמרכיב את הערימה, שהם הקלפים שאינם בשימוש עמודות.

מספר הקלפים המרכיבים את הערימה הוא:

א) 21.
ב) 24.
ג) 26.
ד) 28.
ה) 31.

פתרון הבעיה

חלופה ב '

ראשית בואו נחשב את המספר הכולל של הקלפים ששימשו. אנו עובדים עם AP שכהונתו הראשונה היא 1 והיחס הוא גם 1. אז בחישוב הסכום של 7 השורות, המונח האחרון הוא 7 והערך של n הוא גם 7.

בידיעה שמספר הקלפים הכולל ששימש היה 28 ושיש 52 קלפים, הערימה נוצרה על ידי:

52 - 28 = 24 קלפים

שאלה 2 - (האויב 2018) בניין העירייה של עיירה קטנה בפנים מחליט לשים מוטות לתאורה סביב לאורך דרך ישרה שמתחילה בכיכר מרכזית ומסתיימת בחווה באזור. כַּפרִי. מכיוון שכבר יש בכיכר תאורה, המוט הראשון יוצב 80 מטר מהכיכר, השני בגובה 100 מטר, השלישי בגובה 120 מטר וכו '. ברצף, תמיד לשמור על מרחק של 20 מטר בין העמודים, עד שהמוצב האחרון מוצב במרחק של 1,380 מטר מה כיכר.

אם העיר יכולה לשלם מקסימום 8,000 $ R לכל פוסט שהוצב, הסכום הגבוה ביותר שתוכלו להוציא על הצבת פוסטים אלה הוא:

א) BRL 512 000.00.
ב) 520,000.00 BRL.
ג) 528,000.00 דולר.
ד) 552,000.00 ברל"י.
ה) 584,000 BRL.

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

אנו יודעים שהעמדות יוצבו כל 20 מטר, כלומר r = 20, וכי הקדנציה הראשונה של הרשות הפלסטינית היא 80. כמו כן, אנו יודעים כי הקדנציה האחרונה היא 1380, אך איננו יודעים כמה מונחים יש בין 80 ל 1380. כדי לחשב את מספר המונחים הזה, נשתמש בנוסחת המונח הכללי.

נתונים: א_לא = 1380; ה₁=80; ו- r = 20.

ה_לא= א₁ + r · (n-1)

660 פוסטים יוצבו. אם כל אחד מהם יעלה 8,000 $ מקסימום, הסכום הגבוה ביותר שניתן לבזבז על הצבת פוסטים אלה הוא:

66· 8 000 = 528 000

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה 

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm