פתרון משוואות הוא פעילות יומיומית. באופן אינטואיטיבי אנו פותרים משוואות בחיי היומיום שלנו ואנחנו אפילו לא מבינים את זה. על ידי שאלת השאלה הבאה: "באיזו שעה עלי לקום כדי ללכת לבית הספר כדי שלא אעשה זאת לאחר?" ואנחנו מקבלים את התשובה, למעשה פשוט פתרנו משוואה שבה הלא נודע הוא ה זְמַן. שאלות יומיומיות אלה עוררו תמיד מתמטיקאים בכל הזמנים בחיפוש אחר פתרונות ושיטות לפתרון משוואות.
הנוסחה של בסקארה היא אחת השיטות המפורסמות ביותר לפתרון משוואה. זהו "מתכון", מודל מתמטי המספק, כמעט באופן מיידי, את שורשי המשוואה של התואר השני. מעניין כי אין נוסחאות רבות לפתרון משוואות כפי שניתן לחשוב. משוואות תואר שלישי ורביעי מסובכות מאוד לפתרון, וישנן נוסחאות פיתרון למקרים הפשוטים ביותר של משוואות מסוג זה.
מעניין לדעת שמידת המשוואה קובעת כמה שורשים יש לה. אנו יודעים שלמשוואה לתואר שני יש שני שורשים. לכן, למשוואת תואר שלישי יהיו שלושה שורשים, וכן הלאה. עכשיו בואו נסתכל על מה שקורה עם כמה משוואות.
דוגמא. פתור את המשוואות:
א) x2 + 3x - 4 = 0
פתרון: יישום הנוסחה של בסקרה לפתרון משוואה מדרגה שנייה, אנו מקבלים:
אנו יודעים כי a = 1, b = 3 ו- c = - 4. לכן,
מכיוון שאנו פותרים משוואה של תואר שני, יש לנו שני שורשים.
ב) x3 – 8 = 0
פיתרון: במקרה זה, יש לנו משוואה שלמה שלישית שלמה ברזולוציה פשוטה. 
פתרון: במקרה זה, יש לנו משוואה שלמה של תואר רביעי, הנקראת גם משוואה דו-ריבועית. הפיתרון לסוג זה של משוואה הוא גם פשוט. תראה:
משוואת x4 + פי 32 - ניתן לשכתב את 4 = 0 באופן הבא:
(איקס2)2 + פי 32 – 4 =0
עושה x2 = t והחלפה במשוואה לעיל אנו מקבלים:
t2 + 3t - 4 = 0 → שהיא משוואת מדרגה 2.
אנו יכולים לפתור משוואה זו באמצעות הנוסחה של בסקרה.
ערכים אלה אינם שורשי המשוואה, מכיוון שהלא ידוע הוא x ולא t. אבל עלינו:
איקס2 = t
לאחר מכן,
איקס2 = 1 או x2 = – 4
של x2 = 1, נקבל ש- x = 1 או x = - 1.
של x2 = - 4, אנו מקבלים שאין מספרים ממשיים העונים על המשוואה.
לכן, S = {- 1, 1}
שים לב שבחלופה ה הייתה לנו משוואה לתואר שני ומצאנו שני שורשים. בחלופה ב אנו פותרים משוואה של תואר שלישי ומוצאים רק שורש אחד. ומשוואת הפריטים ç, זו הייתה משוואה של המעלה הרביעית ומצאנו רק שני שורשים.
כאמור קודם, מידת המשוואה קובעת כמה שורשים יש לה:
כיתה ב → שני שורשים
כיתה ג → שלושה שורשים
כיתה ד '→ ארבעה שורשים
אבל מה קרה למשוואות האלטרנטיביות ב ו ç?
מתברר שלמשוואה של דרגה n ≥ 2 יכולות להיות שורשים אמיתיים ושורשים מורכבים. במקרה של משוואת התואר השלישי של פריט b אנו מוצאים רק שורש אמיתי אחד, שני השורשים האחרים הם מספרים מורכבים. הדבר נכון גם למשוואה בפריט ג: אנו מוצאים שני שורשים אמיתיים, השניים האחרים מורכבים.
לגבי שורשים מורכבים, יש לנו את המשפט הבא.
אם המספר המורכב a + bi, b ≠ 0, הוא שורש המשוואה a0איקסלא + את1איקסn-1+... + אתn-1x + aלא = 0, של מקדמים אמיתיים, ולכן הצמידה שלה, a - bi, היא גם שורש המשוואה.
ההשלכות של המשפט הן:
• למשוואה מדרגה שניה עם מקדמים אמיתיים → יש רק שורשים אמיתיים או שני שורשים מורכבים מצומדים.
• למשוואה מדרגה 3 עם מקדמים אמיתיים → יש רק שורשים אמיתיים או שורש ממשי אחד ושני שורשים מורכבים מצומדים.
• למשוואה של המעלה הרביעית עם מקדמים אמיתיים → יש רק שורשים אמיתיים או שני שורשים מצומדים מורכבים ושניים שורשים מצומדים מורכבים אמיתיים או רק, שניים על שניים.
• למשוואה מדרגה 5 עם מקדמים אמיתיים → יש רק שורשים אמיתיים או שני שורשים מורכבים מצומד והשני אמיתי או לפחות שורש אמיתי אחד והשורשים המורכבים האחרים, שניים על שניים מצומדות.
הדבר נכון גם למשוואות של מעלות הגדולות מ -5.
מאת מרסלו ריגונאטו
מומחה לסטטיסטיקה ולמודלים מתמטיים
צוות בית הספר בברזיל
מספרים מסובכים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
