מהי התקדמות גיאומטרית?

האם אתה יכול לדעת מה משותף לרצפים בתמונה למעלה? בכולם המספרים גדלים לפי "צורה הגיונית" כלשהי. אלה רצפי מספרים ניתן לסווג כ התקדמות גיאומטרית. אחד התקדמות גיאומטרית (PG) הוא רצף מספרי בו חלוקת האלמנט בידי האלמנט הקודם תמיד מביאה לאותו ערך, הנקרא a סיבה. היבט מעניין נוסף המאפיין התקדמות גיאומטרית הוא שכאשר אנו בוחרים שלוש אלמנטים עוקבים, הריבוע של האלמנט האמצעי תמיד יהיה שווה לתוצר האלמנטים של קיצוניות. לדוגמה, בואו נסתכל על הרצף A = (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...). אנו יכולים לזהות את הסיבה על ידי בחירת אלמנט כלשהו ונחלק אותו לפי המונח שקודם לו. בואו נבצע הליך זה לכל האלמנטים המופיעים ברצף:

32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1

לכן, יחס הרצף A הוא 2. בואו נראה אם ​​הכלל השני מתקיים. בואו לבחור שלושה אלמנטים עוקבים, למשל, 4, 8, 16. על פי הכלל, הריבוע של 8 שווה למוצר של שני מספרי קצה, במקרה זה 4 ו 16. באמצעות תכונות הפוטנציאל, עלינו 8² = 64. אם נכפיל את הקיצוניות, נקבל את זה 4 * 16 = 64. החל כללים אלה על התקדמות אחרת וברר אם הרצף הוא התקדמות גיאומטרית.

נתון כל רצף (ה₁, א₂, א₃, א₄, …, ה_n-1, א_לא, …), אנחנו יכולים לומר את זה, להיות לא כל מספר שלם, סיבה r ניתן ע"י:

r =  ה_לא
ה_{n - 1}

בואו ננתח את שאר הרצפים של תמונת הטקסט הראשונית, ונבדוק אם הם התקדמות גיאומטרית.

B = {5, 25, 125, 625, 3125, ...}

r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

C = {1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729}

r = – 3 =  9 = – 27 =  81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81

D = (10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}

r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2

ניתן לסווג התקדמות גיאומטרית על פי הסיבה שלה. בואו נסתכל על הסיווגים האפשריים:

• אם ה- PG מציג סיבה ל ערך שלילי, אנו אומרים שזה PG לסירוגין אוֹ נִדנוּד, כמו בדוגמה Ç. שים לב שלמחרוזת מסוג זה יש ערכים חיוביים ושליליים מתחלפים (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729 ...);

• כאשר האלמנט הראשון של PG הוא חִיוּבִי והסיבה r הוא כמו r> 1 או שהאלמנט הראשון של PG הוא שלילי ו 0 , אנו אומרים ש- PG כן גָדֵל. את הרצפים ה ו ב הם דוגמאות להתקדמות גיאומטרית הולכת וגוברת;

• אם מתרחש ההפך מה- PG הקבוע, כלומר כאשר היסוד הראשון של ה- PG הוא שלילי והסיבה r הוא כמו r> 1 או שהאלמנט הראשון של PG הוא חִיוּבִי ו 0 , זה PG פּוֹחֵת. הרצף ד הוא דוגמה לירידה ב- PG;

• כאשר ל- PG יש יחס שווה ל- 1, הוא מסווג כ- PG קָבוּעַ. הרצף (2, 2, 2, 2, 2, ...) הוא סוג של PG קבוע מכיוון שהיחס שלו הוא 1;

• כאשר ל- PG יש לפחות מונח בטלאנו אומרים שזו התקדמות גיאומטרית יָחִיד. איננו יכולים לקבוע את הסיבה ל- PG יחיד. דוגמה היא הרצף (2, 0, 0, 0, ...).

מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר מתמטיקה