ה Mכפל מטריצה נעשה באמצעות אלגוריתם הדורש תשומת לב רבה. כדי שהתוצר שבין מטריצה A למטריצה B יתקיים, יש צורך שמספר עמודות נותן ראשון מַטֶה, במקרה A, שווה למספר שורות נותן יוֹם שֵׁנִי מַטֶה, במקרה ב '.
מהכפל בין מטריצות אפשר להבין מהי מטריצת הזהות, שהיא ה אלמנט נייטרלי של כפל מטריצה, ומהי המטריצה ההפוכה של מטריצה M, שהיא מטריצה M-1 שהתוצר של M על ידי M.-1 שווה למטריצת הזהות. אפשר גם להכפיל מטריצה במספר אמיתי - במקרה זה אנו מכפילים כל אחד ממונחי ה- מַטֶה לפי מספר.
קרא גם: מהי מטריצה משולשת?
מצב קיום
כדי להכפיל שתי מטריצות, ראשית יש לבדוק את מצב הקיום. כדי שהמוצר יהיה קיים, מספר העמודות במטריצה הראשונה חייבת להיות שווה למספר השורות במטריצה השנייה. יתר על כן, תוצאת הכפל היא מטריצה שיש לה מספר שורות זהה למטריצה הראשונה ומספר עמודות זהה לזה של המטריצה השנייה.
לדוגמא, המוצר AB בין מטריצות A3x2 ו ב2x5 קיים מכיוון שמספר העמודות ב- A (2 עמודות) שווה למספר השורות ב- B (2 שורות), והתוצאה היא מטריצה AB3x5. כבר מוצר בין מטריצות C3x5 ומטריקס ד2x5 לא קיים, מכיוון של- C יש 5 עמודות ו- D עם 3 שורות.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
כיצד מחשבים את המוצר בין שתי מטריצות?
כדי לבצע מכפל מטריצה, יש צורך לבצע כמה צעדים. נכין דוגמה לריבוי מטריצה אלגברית A.2x3 לפי מטריצה ב '3x2
אנו יודעים שהמוצר קיים, כי למטריצה A יש 3 עמודות, ולמטריצה B, 3 שורות. נקרא C תוצאת הכפל A · B. בנוסף, אנו גם יודעים שהתוצאה היא מטריצת C.2x2, כי למטריצה A יש 2 שורות, ולמטריצה B, 2 עמודות.
לחישוב התוצר של מטריצה A.2x3 ומטריקס ב '3איקס2בואו בצע כמה צעדים.
ראשית נמצא כל אחד מהתנאים של המטריצה C2x2:
כדי למצוא את המונחים, בואו תמיד קשר את שורות המטריצה A לעמודות המטריצה B:
ç11 → שורה 1 של א ו טור ראשון של ב
ç12 → שורה 1 של א ו טור שני של ב
ç21 → שורה 2 של א ו טור ראשון של ב
ç22 → שורה 2 של א ו טור שני של ב
אנו מחשבים כל אחד מהמונחים על ידי הכפלת המונחים בשורת A והמונחים בעמודה B. עכשיו עלינו להוסיף את המוצרים הללו, החל מ ç11:
שורה 1 של א
טור ראשון של ב
ç11 = ה11· ב11 + ה12· ב21+ ה13· ב31
חישוב ç12:
שורה 1 של א
טור שני של ב
ç12 = ה11· ב12 + ה12· ב22+ה13· ב32
חישוב ç21:
שורה 2 של א
טור ראשון של ב
ç21 = ה21· ב11 + ה22· ב21+ה23· ב31
חישוב המונח ç22:
שורה 2 של א
טור שני של ב
ç22 = ה21· ב12 + ה22· ב22+ה23· ב32
לפיכך, מטריצה C נוצרת על ידי המונחים:
דוגמא:
בואו נחשב את הכפל בין מטריצות A ו- B.
אנו יודעים שב- A2x2 ו ב2x3, מספר העמודות בראשון שווה למספר השורות בשנייה, כך שהתוצר קיים. אז נכין C = A · B ואנחנו יודעים ש- C2x3.
להכפיל, עלינו:
ראה גם: מהי מטריצה מועברת?
מטריצת זהות
בכפל בין מטריצות, ישנם כמה מקרים מיוחדים, כגון מטריצת הזהות, שהיא היסוד הנייטרלי של הכפל בין מטריצות.. מטריצת הזהות היא מטריצה מרובעת, כלומר מספר השורות תמיד שווה למספר העמודות. יתר על כן, רק המונחים של האלכסון שווים 1 בו, והמונחים האחרים כולם שווים לאפס. כאשר אנו מכפילים מטריצה M במטריקס הזהות Iלא, אנחנו חייבים:
M · אנילא = M
דוגמא:
מהי המטריצה ההפוכה?
בהינתן מטריצה M, אנו מכירים אותה כמטריצה הפוכה של M. המטריצה M-1שהתוצר שלו M · M-1 שווים à מטריצת זהות Iלא. כדי שמטריצה תהיה הפוכה, היא חייבת להיות מרובעת, והיא שלה קוֹצֵב צריך להיות שונה מ- 0. בואו נסתכל על דוגמאות של מטריצות הפוכות:
חישוב המוצר A · B עלינו:
שים לב שה- מוצר שבין מטריצה I שנוצרה A ו- B2. כשזה קורה, אנו אומרים כי B היא המטריצה ההפוכה של A. למידע נוסף על סוג זה של מטריצות, קרא: מטריצה הפוכה.
כפל מטריקס במספר ממשי
בניגוד לכפל בין מטריצות, יש גם כפל מטריקס אחד מספר ממשי, שזו פעולה הרבה יותר פשוטה למציאת הפיתרון.
ניתן מטריצה M, הכפלת המטריצה במספר אמיתי k שווה למטריצה kM. כדי למצוא את המטריצה הזו kM, מספיק הכפל את כל המונחים במטריצה בקבוע k.
דוגמא:
אם k = 5 ובהתחשב במטריצה M להלן, מצא את המטריצה 5M.
מכפיל:
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (Unitau) מטריצות A ו- B נתונות,
ערך האלמנט ג11 של מטריצה C = AB היא:
א) 10.
ב) 28.
ג) 38.
ד) 18.
ה) 8.
פתרון הבעיה
חלופה א '.
איך אנחנו רוצים את המונח ג11בואו נכפיל את המונחים בשורה הראשונה ו- A עם המונחים בעמודה הראשונה של B.
חישוב ג11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
שאלה 2 - (Enem 2012) סטודנט רשם את הציונים הדו-חודשיות של חלק מהנושאים שלו בטבלה. הוא ציין כי הערכים המספריים בטבלה היוו מטריצה של 4 × 4, וכי הוא יכול לחשב את הממוצעים השנתיים עבור תחומים אלה באמצעות תוצר של מטריצות. לכל הבדיקות היה אותו משקל, והטבלה שקיבל מוצגת למטה.
כדי להשיג את הממוצעים הללו, הוא הכפיל את המטריצה שהושגה מהטבלה במטריצה:
פתרון הבעיה
חלופה E.
הממוצע הוא לא יותר מסכום האלמנטים חלקי מספר היסודות. שימו לב שיש 4 פתקים בשורה, כך שהממוצע יהיה סכום ההערות חלקי 4. חלוקה ב- 4 זהה להכפלת ב- שבריר ¼. כמו כן, מטריצת הציונים היא מטריצה של 4x4, לכן עלינו להכפיל מטריקס של 4x1, כלומר יש לה 4 שורות ועמודה אחת, כדי למצוא את המטריצה שיש לה את הממוצע של הציונים.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
