IL funzione di iniezione, nota anche come funzione iniettiva, è un caso particolare di funzione. Affinché una funzione possa essere considerata iniettabile, dobbiamo avere la seguente occorrenza: dati due elementi, x1 e x2, appartenente all'insieme di domini, con x1 diverso da x2, immagini f(x1) e f(x2) sono sempre distinti, cioè f(x1) ≠ f(x2). Questa funzione ha caratteristiche specifiche che consentono l'identificazione del suo grafico e anche l'analisi della legge di formazione.
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Che cos'è una funzione di iniezione?
Per costruire alcuni esempi di funzione dell'iniettore, è importante comprendere la definizione di questo tipo di funzione. Una funzione f: A → B è classificato come iniettabile se, e solo se, elementi diversi dall'insieme A hanno immagini diverse nell'insieme B, cioè:
Esempio 1:
Di seguito è riportato un esempio di funzione dell'iniettore in dve diagrammanono:
Esempio 2:
Di seguito è riportato un esempio di una funzione non iniettabile. Nota che in impostato A, ci sono due elementi distinti che hanno la stessa immagine nell'insieme B, il che contraddice la definizione di funzione iniettore.
Come calcolare una funzione iniettore?
Per verificare se una funzione è iniettante o meno, è necessario analizzare il comportamento della legge di formazione e anche il dominio e controdominio in cui è definita la funzione.
Esempio:
data la funzione f: R → R, con la legge di formazione f(x) = 2x, controllare se è un iniettore.
Per la legge di formazione, possiamo vedere che ci vuole a numero reale del dominio e lo trasforma nel suo doppio. Due numeri reali distinti, moltiplicati per due, danno risultati distinti. IL occupazionef, come possiamo vedere, è una funzione iniettore, poiché per due valori qualsiasi di x1 e x2,il valore di f(X1) ≠ f(X2).
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Esempio 2:
data la funzione f: R → R, con legge di formazione f(x) = x², controllare se è un iniettore.
Possiamo osservare che, per questo dominio, questa funzione non è iniettante, poiché abbiamo che l'immagine di qualsiasi numero è uguale all'immagine del suo opposto, ad esempio:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
notare che f(2) = f ( – 2), che contraddice la definizione di funzione iniettore.
Esempio 3:
data la funzione f:R+ → R, con legge di formazione f(x) = x², controllare se è un iniettore.
Nota che ora il dominio è i numeri reali positivi e zero. La funzione trasforma il numero reale nel suo quadrato; in questo caso, quando il dominio è l'insieme dei numeri reali positivi, questa funzione è iniettiva, perché il quadrato di due numeri positivi distinti genererà sempre risultati diversi. Quindi, è molto importante ricordare che, oltre alla legge di formazione della funzione, è necessario analizzare il suo dominio e controdominio.
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Diagramma della funzione di iniezione
Per identificare se il grafico è una funzione iniettore o meno, basta controllare se ce ne sono due valori x distinti che generano lo stesso corrispondente y, ovvero verificare la validità della definizione di funzione dell'iniettore.
Nell'intervallo in cui andremo a guardare il grafico, la funzione deve essere esclusivamente crescente o esclusivamente decrescente. Grafica come il parabola o la funzione seno non sono grafici delle funzioni dell'iniettore.
Esempio 1:
La linea ascendente è il grafico di una funzione di iniezione. Nota che è sempre crescente e che non esiste un valore y che abbia due corrispondenti distinti.
Esempio 2:
Il grafico di a funzione esponenziale è anche il grafico di una funzione iniettore.
Esempio 3:
Il grafico di a funzione quadratica è sempre una parabola. Quando il dominio coinvolge i numeri reali, è possibile vedere che ci sono diversi valori x che hanno il stesso corrispondente in y, come nei punti F e G, che rende questo grafico di una funzione che non è iniettore.
In sintesi, per sapere se il grafico è o meno di una funzione iniettore, è sufficiente verificare se la definizione di funzione iniettore è valida o meno per quella funzione.
esercizi risolti
Domanda 1 - (Enem 2017 – PPL) Nel primo anno di liceo in una scuola, è consuetudine che gli studenti ballino balli quadrati alla festa di giugno. Quest'anno ci sono 12 ragazze e 13 ragazzi nella classe e sono state formate 12 diverse coppie per la banda, composte da una ragazza e un ragazzo. Assumiamo che le ragazze siano gli elementi che compongono l'insieme A e i ragazzi l'insieme B, in modo che le coppie formate rappresentino una funzione f da A a B.
Sulla base di queste informazioni, la classificazione del tipo di funzione presente in questa relazione è relationship
A) f sta iniettando, perché ad ogni ragazza appartenente all'insieme A è associato un diverso ragazzo appartenente all'insieme B.
B) f è suriettiva, poiché ogni coppia è formata da una ragazza appartenente all'insieme A e un ragazzo appartenente all'insieme B, lasciando un ragazzo spaiato.
C) f sta iniettando, come due ragazze qualsiasi appartenenti all'insieme A fanno coppia con lo stesso ragazzo appartenente all'insieme B, per coinvolgere tutti gli studenti della classe.
D) f è biunivoco, poiché due ragazzi qualsiasi appartenenti all'insieme B formano una coppia con la stessa ragazza appartenente all'insieme A.
E) f è suriettiva, in quanto è sufficiente che una ragazza dell'insieme A formi una coppia con due ragazzi dell'insieme B, in modo che nessun ragazzo sia senza coppia.
Risoluzione
Alternativa A.
Questa funzione è iniettiva perché, per ogni elemento dell'insieme A, c'è un solo corrispondente nell'insieme B. Nota che non c'è possibilità che due ragazze ballino con la stessa coppia, quindi questa relazione è iniettabile.
Domanda 2 - (IME - RJ) Consideriamo gli insiemi A = {(1,2), (1,3), (2,3)} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, e sia la funzione f: A → B tale che f(x, y) = x + y.
Si può dire che f è una funzione:
A) iniettore.
B) suriettiva.
C) biettore.
D) par.
E) dispari.
Risoluzione
Alternativa A.
Analizzando il dominio, dobbiamo:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f(2,3) = 2 + 3 = 5
Si noti che per qualsiasi due termini distinti nel dominio, sono correlati a termini distinti nel controdominio, il che rende questa funzione un iniettore.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
