quando due motivi hanno lo stesso risultato, diciamo che lo sono proporzionale. Se queste ragioni rappresentano misure di qualche grandezza, diciamo anche che sono proporzionali.
In altre parole, questa uguaglianza significa che le variazioni che si verificano in a grandezza influenzano – o sono influenzati – da variazioni della seconda.
Esempio di proporzione
Immagina che un'auto si muova a 100 km/he, in un certo periodo di tempo, percorra una distanza di 200 km. In questo esempio, abbiamo due grandezza: velocità e distanza.
Queste grandezze, nello stesso intervallo di tempo, sono dipendenti e si influenzano a vicenda, per cui, se l'auto si muove a velocità inferiore, non potrà percorrere la stessa distanza. Infatti, è possibile affermare con certezza che, muovendosi a metà velocità, l'auto percorrerà metà della distanza e, quindi, in quel lasso di tempo, raggiungerà i 100 km.
Da questo esempio, puoi scrivere i motivi:
2 = 200 = 100 = Velocità
100 50 distanza
Formalizzazione del concetto
Formalmente, a
proporzione è un'uguaglianza tra ragioni. Di solito questa uguaglianza è rappresentata da frazioni, come nell'esempio precedente. Quindi, diciamo che A, B, C e D sono proporzionali se la seguente affermazione è vera:IL = Ç = L
BD
Nella catena di uguaglianze sopra, le due frazioni sono chiamate proporzione e L è il costante di proporzionalità. Nel caso dell'esempio precedente, la costante di proporzionalità è 2.
Come identificare le quantità proporzionali
Per identificare quantità proporzionali, prova ad assemblarne uno proporzione fra loro. Se possibile, saranno proporzionati; altrimenti, n.
Esempio:
Se un'auto percorre 80 km a una velocità di 40 km/h, percorrerà 160 km a una velocità di 80 km/h. Nota che i rapporti tra velocità e distanza hanno lo stesso risultato:
40 = 80 = 1
80 160 2
Un buon esempio per quantità non proporzionali è il rapporto peso/altezza. È evidente che una taglia non dipende dall'altra, poiché ci sono migliaia di persone con altezze e pesi diversi.
Grandezze direttamente proporzionali
Ogni volta che un aumento di una quantità determina un aumento di un'altra quantità proporzionale ad essa, si dice che sono direttamente proporzionale.
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Immagina che un'azienda lavori con l'assemblaggio di mouse per computer su diverse linee di assemblaggio. Una di queste linee è responsabile del posizionamento della puleggia centrale, solitamente utilizzata per scorrere la pagina a cui si accede.
Supponiamo che questa azienda abbia 10 dipendenti e che riescano ad assemblare 380 topi al giorno lavorativo. Se l'azienda raddoppia il numero di dipendenti, raddoppierà anche il numero di mouse montati? Se la risposta è sì, allora diciamo che questi le quantità sono direttamente proporzionali.
Grandezze inversamente proporzionali
Ogni volta che l'aumento di una grandezza fornisce la riduzione di un'altra proporzionale alla prima, si dice che sono inversamente proporzionale.
Immagina un viaggio fatto a 50 km/h in 2 ore. Se raddoppiamo la velocità a 100 km/h, impiegheremo metà del tempo, cioè solo 1 ora. Pertanto, aumentando la quantità “velocità”, diminuiamo la quantità “tempo”.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
Questa proprietà è il risultato dell'applicazione di equazioni in proporzionalità. Immaginiamo che a, b, c e d siano misure di due quantità proporzionali e rispettiamo quanto segue proporzione:
Il = ç
b d
Quindi, l'uguaglianza di cui sopra può anche essere scritta come segue:
ad = bc
Questa proprietà è nota come segue: Il prodotto delle medie è uguale al prodotto degli estremi extreme.
Regola del tre
La proprietà precedente è ciò che permette di trovare una delle misure delle grandezze dalle altre tre. Questa procedura è nota come regola del tre.
Ad esempio: nell'azienda che assembla i topi mostrati negli esempi precedenti, 10 dipendenti assemblano 380 topi al giorno lavorativo. Se è necessario assemblare 1000 topi, quanti dipendenti devono essere assunti almeno?
Si noti che il numero di topi prodotti diviso per il numero di dipendenti deve essere uguale allo stesso rapporto nella seconda situazione. Questo dovrà avere il numero del dipendente rappresentato da una lettera, poiché non conosciamo questo numero.
380 = 1000
10x
Usando la proprietà fondamentale avremo:
380x = 10·1000
380x = 10000
x = 10000
380
x = 26,3
Poiché non è possibile assumere 0,3 dipendenti, sappiamo che l'azienda ne servirà 27 per raggiungere il nuovo obiettivo. Pertanto, ne serviranno altri 17.
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
