Seno, coseno e tangente sono i nomi dati a rapporti trigonometrici. La maggior parte dei problemi relativi al calcolo della distanza viene risolta utilizzando il trigonometria. E per questo è molto importante capirne i fondamenti, a partire dal triangolo rettangolo.
Anche i rapporti trigonometrici sono molto importanti, in quanto mettono in relazione le misurazioni su entrambi i lati del triangolo con uno degli angoli acuti, associando questa relazione con a numero reale.
Vedi altro: Identificazione dei quadranti del ciclo trigonometrico
Caratteristiche del triangolo rettangolo
Il triangolo rettangolo è formato da a angolo 90° (angolo retto). Gli altri angoli sono minori di 90º, cioè sono acuti, e inoltre sappiamo che i lati maggiori sono sempre opposti agli angoli maggiori. Nel triangolo rettangolo, il lato più grande si chiama ipotenusa ed è "davanti" all'angolo retto, gli altri lati sono chiamati pecari.
Nel triangolo sopra, abbiamo che i lati che misurano c e b sono i cateti, e il lato che misura a è l'ipotenusa. In ogni triangolo rettangolo, la relazione conosceva come
teorema di Pitagora è valido.Il2 = b2 + c2
Il pecari dal collare, d'ora in poi, avrà anche nomi speciali. Le nomenclature delle gambe dipenderanno dall'angolo di riferimento. Considerando l'angolo in blu nell'immagine sopra, abbiamo che il lato che misura b è il gamba opposta, e il lato che è vicino all'angolo, cioè che misura c è il gamba adiacente.
seno
Prima di definire una formula per il seno di un angolo, comprendiamo l'idea di seno. Immagina una rampa, sulla quale possiamo determinare il Motivo tra altezza e rotta, giusto? Questo rapporto sarà chiamato seno dell'angolo α.
Così,
peccato α = altezza
itinerario
coseno
Analogamente all'idea di seno, abbiamo il senso del coseno, tuttavia, in una rampa, il coseno è il rapporto tra la distanza dal suolo e il percorso sulla rampa.
Così:
cos α = rimozione
itinerario
Tangente
Analogamente alle idee di seno e coseno, la tangente è il rapporto tra l'altezza e la distanza di una rampa.
Così:
tg α = altezza
rimozione
La tangente ci dà il tasso di aumento.
Leggi anche: Trigonometria in qualsiasi triangolo
Relazione tra seno, coseno e tangente
In generale, possiamo quindi definire seno, coseno e tangente in qualsiasi triangolo rettangolo utilizzando le idee precedenti. Vedi sotto:
Prima di prendere il angolo α come riferimento abbiamo:
peccato α = lato opposto = ç
ipotenusa a
cos α = cateto adiacente = B
ipotenusa a
tg α = lato opposto = ç
Catet adiacente b
Prendendo ora l'angolo come riferimento, abbiamo:
peccato β = lato opposto = B
ipotenusa a
cos = cateto adiacente = ç
ipotenusa a
tg β = lato opposto = B
cateto adiacente c
Tabelle trigonometriche
Ci sono tre valori angolari che dobbiamo conoscere. Sono loro:
Gli altri valori sono riportati nelle dichiarazioni degli esercizi o possono essere verificati nella tabella seguente, ma non preoccupatevi, non è necessario averli memorizzati (tranne quelli della tabella precedente).
Angolo (°) |
seno |
coseno |
tangente |
Angolo (°) |
seno |
coseno |
tangente |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Sappi anche che: Secante, cosecante e cotangente
esercizi risolti
domanda 1 - Determinare il valore di xey nel triangolo seguente.
Soluzione:
Vedi nel triangolo che l'angolo dato era di 30°. Sempre guardando il triangolo, abbiamo il lato che misura X è il gamba opposta all'angolo di 30°, e il lato che misura sì è il gamba adiacente con un angolo di 30°. Quindi, dobbiamo cercare un rapporto trigonometrico che metta in relazione ciò che stiamo cercando con ciò che è dato (ipotenusa). Presto:
peccato 30° = lato opposto
Ipotenusa
cos 30° = cateto adiacente
Ipotenusa
Determinato il valore di x:
peccato 30° = lato opposto
Ipotenusa
peccato 30° = X
2
Guardando la tabella, dobbiamo:
peccato 30° = 1
2
Sostituendolo nell'equazione avremo:
1 = X
2 2
x = 1
Allo stesso modo, considereremo
Così:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = cateto adiacente
Ipotenusa
cos 30° = sì
2
√3 = sì
2 2
y = √3
Domanda 2 – (PUC-SP) Qual è il valore di x nella figura seguente?
Soluzione:
Guardando il triangolo più grande, notiamo che y è opposto all'angolo di 30° e che 40 è l'ipotenusa, cioè possiamo usare il seno trigonometrico.
peccato 30° = sì
40
1 = sì
2 40
2y = 40
y = 20
Ora guardando il triangolo più piccolo, vediamo che abbiamo il valore del lato opposto e cerchiamo il valore di x, che è il lato adiacente. La relazione trigonometrica che coinvolge queste due gambe è la tangente. Così:
tg 60° = 20
X
√3= 20
X
3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm