rapporto trigonometrico - chiamato anche relazione trigonometrica – è, grosso modo, il risultato della divisione delle misure di due lati di a triangolo rettangolo. I rapporti trigonometrici sono in grado di mettere in relazione i lati con gli angoli di un triangolo rettangolo. Se non fosse per loro, sarebbe possibile solo costruire ciò che conosciamo come relazioni metriche.
Prima di definire i rapporti trigonometrici, è importante conoscere la nomenclatura dei lati di un triangolo rettangolo.
triangolo rettangolo
In ogni triangolo rettangolo, il lato opposto all'angolo retto – che è il lato più lungo del triangolo – si chiama ipotenusa. Gli altri due prendono il nome pecari.
Inoltre, ponendo l'angolo acuto di un qualsiasi triangolo rettangolo, il lato opposto a questo angolo si chiama gamba opposta, e il lato che tocca questo angolo si chiamagamba adiacente.
Rapporti trigonometrici
I rapporti trigonometrici sono stati creati dalla seguente osservazione: due triangoli rettangoli che hanno un secondo angolo congruente sono simili. Ciò significa che tra questi due triangoli, le misure dei lati sono proporzionali e le misure degli angoli sono congruenti. In questo modo, prendendo un angolo acuto da un triangolo rettangolo, il rapporto tra i suoi lati avrà lo stesso risultato.
Questa informazione è importante per la trigonometria perché un rapporto trigonometrico relativo a un dato angolo avrà un valore fisso per qualsiasi triangolo, indipendentemente dalle dimensioni dei suoi lati, perché essendo proporzionali, il rapporto dei lati corrispondenti sarà pari.
Detto questo, definiremo il rapporti trigonometrici seno, coseno e tangente:
Sen = Cateto opposto
Ipotenusa
Cosθ = Cateto adiacente a θ
Ipotenusa
Tgθ = Cateto opposto
Cateto adiacente a θ
Un valore per ogni angolo
Il seno di un angolo è invariante indipendentemente dalla misura del lato del triangolo da cui è stato preso quell'angolo. Il seguente triangolo è stato costruito al computer, in modo che avesse un angolo retto e un angolo di 30º, rappresentato dalla lettera greca θ. Le misure ottenute sono state:
Calcolando il seno di 30° avremo:
Sen30 = Cateto opposto = 2,31 = 0,5
ipotenusa 4.62
Il valore 0,5 è il seno a 30° per qualsiasi triangolo. Questo perché tutti i triangoli che hanno due angoli congruenti sono proporzionali. In questo esempio, 0,5 è solo il rapporto trovato nei triangoli rettangoli che hanno un angolo di 30°.
tavola trigonometrica
I calcoli precedenti possono essere eseguiti per tutti gli angoli "interi" - un angolo può anche essere frazionato. Le frazioni "decimali" sono chiamate minuti e i "centesimali" sono chiamati secondi. Utilizzando i rapporti seno, coseno e tangente, sarebbe possibile costruire la seguente tabella di valori:
applicazioni pratiche
Attraverso ragioni trigonometriche, è possibile mettere in relazione gli angoli di un triangolo rettangolo con i valori dei suoi lati. Pertanto, è possibile trovare la misura di un lato di un triangolo rettangolo avendo solo le misure di uno dei suoi angoli acuti e di uno dei suoi lati. Guarda l'esempio:
Calcola il valore del lato della lunghezza Il nel seguente triangolo:
In questo triangolo, vogliamo trovare il valore del lato opposto all'angolo di 60° dal valore del suo lato adiacente. guardando il rapporti trigonometrici sopra definito, osserviamo che l'unica che mette in relazione il cateto opposto al cateto adiacente è la tangente. Pertanto, useremo questo motivo per trovare il valore di "a". Cercando la tangente a 60° nella tabella precedente, troviamo il valore: 1.732. Guarda i calcoli utilizzati per trovare la misura sul lato a:
Tg60 = Cateto opposto 60 = Il
Cateto adiacente a 60 2
Tg60 = Il
2
1,732 = Il
2
a = 1.732·2
a = 3.464
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-razao-trigonometrica.htm