IL circonferenza è una figura geometrica piatta formata da unione di punti equidistanti, cioè hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro. Lo studio della circonferenza è presente anche nel geometria analitica, in cui è possibile dedurre un'equazione che lo rappresenta.
sebbene il cerchio e circonferenza sono figure geometriche piatte con alcuni elementi in comune, che di solito portano a dubbi, queste figure presentano differenze importanti, soprattutto per quanto riguarda la dimensionalità.
Leggi anche: Distanza tra due punti: un concetto importante della geometria analitica
elementi del cerchio
Nota la circonferenza:
Il punto Ç è chiamato centro del cerchio, e si noti che i punti A e B gli appartengono. Il segmento che unisce gli estremi del cerchio passante per il centro si chiama diametro. Sulla circonferenza precedente, allora dobbiamo il diametro è il segmento AB.
Al dividere il diametro a metà, otteniamo il raggio della circonferenza, cioè il raggio (r) di un cerchio è il segmento che unisce il centro e la fine. In questo caso, il raggio è il segmento CB. Possiamo stabilire una relazione matematica tra questi due elementi, poiché il diametro è il doppio del raggio.
d = 2 · r
Esempio
Determina il raggio di un cerchio che ha un diametro di 40 cm.
Sappiamo che il diametro è il doppio del raggio, in questo modo:
lunghezza della circonferenza
Considera un cerchio che ha un raggio che misura r. oh lunghezza o perimetro della circonferenza è data dal prodotto di çpi costante (π) per il doppio del raggio.
Quando calcoliamo la lunghezza o il perimetro di un cerchio, determiniamo la dimensione della linea verde nel disegno precedente, e per farlo basta sostituire il valore del raggio nella formula che procede a figura.
Esempio
Determina la lunghezza della circonferenza di raggio 5 cm.
Il raggio del cerchio è uguale a 5 cm, quindi per determinare la lunghezza del cerchio dobbiamo sostituire questo valore nella formula.
C = 2πr
C = 2(3.14)(5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Vedi anche: Costruzione di poligoni inscritti
area della circonferenza
Consideriamo un cerchio di raggio r. Per calcolare la tua area, dobbiamo moltiplicare il quadrato del valore del raggio per.
Quando calcoliamo l'area del cerchio, stiamo determinando la misura della superficie, cioè l'intera regione all'interno del cerchio.
- Esempio
Determina l'area di un cerchio che ha un raggio pari a 4 cm.
Abbiamo che il raggio della circonferenza è pari a 4 cm, quindi possiamo sostituire questa misura nella formula per l'area. Guarda:
A = · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
A = 50,24 cm2
Equazione di circonferenza ridotta
Sappiamo che un cerchio può essere costruito da insieme di punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto origine o centro. Quindi, considera un punto fisso nel piano cartesiano O(a, b). L'insieme dei punti — rappresentato da P(x, y) — che sono alla stessa distanza r da questo punto fisso formerà un cerchio di raggio r.
Si noti che i punti della forma P(x, y) sono tutti alla stessa distanza dal punto O(a, b), cioè, la distanza tra i punti O e P è uguale al raggio del cerchio, così:
A equazione ridotta, nota che i numeri Il e B sono le coordinate del centro del cerchio e che r è la misura del raggio.
- Esempio
Determinare le coordinate del centro e la misura del raggio del cerchio che ha un'equazione:
a) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 36
Confrontando questa equazione con l'equazione ridotta, abbiamo:
(X - Il)2 + (y – B)2 = r2
(X - 2)2 + (y –6)2 = 36
Vedi che a = 2, b = 6 e r2 = 36. L'unica equazione da risolvere è:
r2 = 36
r = 6
Pertanto, la coordinata del centro è: O(2, 6) e la lunghezza del raggio è 6.
b) (x – 5)2 + (y + 3)2 = 121
Allo stesso modo, abbiamo:
(X - Il)2 + (y – B)2 = r2
(x – 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
– b = 3
b = –3
Mentre il valore del raggio è dato da:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + si2 = 1
(X - Il)2 + (y – B)2 = r2
X2 + si2 = 1
Nota che x2 = (x + 0)2 e si2 = (y + 0)2 . Quindi dobbiamo:
(X - Il)2 + (y – B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Pertanto, la coordinata del centro è O(0, 0) e il raggio è uguale a 1.
Accedi anche a: Come trovare il centro di un cerchio?
equazione generale del cerchio
Per determinare l'equazione generale del cerchio, dobbiamo sviluppare l'equazione ridotta sua. Quindi, considera un cerchio che ha un centro nelle coordinate O(a, b) e raggio r.
Inizialmente, svilupperemo i termini al quadrato usando il prodotti degni di nota; poi passeremo tutti i numeri al primo membro; e, infine, uniremo i termini con lo stesso coefficiente letterale, cioè quelli con le stesse lettere. Guarda:
Esempio
Determinare le coordinate del centro e il raggio medio del cerchio che ha un'equazione:
ascia2 + si2 – 4x – 6a + 4 + 9 – 49 = 0
Per determinare il raggio e le coordinate del cerchio che ha questa equazione, dobbiamo confrontarlo con l'equazione generale. Guarda:
X2 + si2 – 2°X - 2by + Il2 + B2 –r2 = 0
X2 + si2 – 4X - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Dai confronti in verde, dobbiamo:
2° = 4
a = 2
o
Il2 = 4
a = 2
Dai confronti in rosso abbiamo che:
2b = 6
b = 3
o
B2 = 9
b = 3
Quindi, possiamo dire che il centro ha coordinate O(2, 3). Ora, confrontando il valore di r, abbiamo:
r2 = 49
r = 7
Pertanto, il raggio del cerchio ha una lunghezza pari a 7.
b) x2 + si2 – 10x + 14 anni + 10 = 0
In modo simile, confrontiamo le equazioni:
X2 + si2 – 2°X - 2by + Il2 + b2 – r2 = 0
X2 + si2 –10X + 14y + 10 = 0
2° = 10
a = 5
Determinazione del valore di b:
–2b = 14
b = – 7
Nota ora che:
Il2 + b2 – r2 = 10
Poiché conosciamo i valori di a e b, possiamo sostituirli nella formula. Guarda:
Il2 + b2 – r2 = 10
52 + (–7)2 – r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 – r2 = 10
– r2 = 10 – 74
(–1) – r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Pertanto, le coordinate del centro sono O (5, –7) e il raggio ha una lunghezza pari a 8.
Differenze tra circonferenza e cerchio
La differenza tra un cerchio e un cerchio riguarda il numero di dimensioni di ogni elemento. Mentre il cerchio ha una dimensione, il cerchio ne ha due.
Un cerchio è una regione nel piano formata da punti tutti equidistanti da un punto fisso chiamato origine. Il cerchio è composto da ogni regione all'interno del cerchio. Guarda la differenza nelle immagini:
Vedi anche:lunghezza della circonferenza e area del cerchio
esercizi risolti
domanda 1 – Una circonferenza ha un perimetro pari a 628 cm. Determinare il diametro di questo cerchio (adottare π = 3,14).
Risoluzione
Poiché il perimetro è pari a 628 cm, possiamo sostituire questo valore nell'espressione della lunghezza della circonferenza.
Domanda 2 – Due cerchi sono concentrici se hanno lo stesso centro. Sapendo questo, determina l'area della figura vuota.
Risoluzione
Nota che per determinare l'area della regione in bianco, dobbiamo determinare l'area del cerchio più grande e poi quella del cerchio più piccolo in blu. Nota anche che se rimuoviamo il cerchio blu, rimane solo la regione che vogliamo, quindi dobbiamo sottrarre quelle aree. Guarda:
ILPIÙ GRANDE = r2
ILPIÙ GRANDE = (3,14) · (9)2
ILPIÙ GRANDE = (3,14) · 81
ILPIÙ GRANDE = 254,34 cm2
Calcoliamo ora l'area del cerchio blu:
ILPIÙ PICCOLO = r2
ILPIÙ PICCOLO = (3,14) · (5)2
ILPIÙ PICCOLO = (3,14) · 25
ILPIÙ PICCOLO = 78,5 cm2
Pertanto, l'area vuota è data dalla differenza tra l'area più grande e l'area più piccola.
ILBIANCA = 254,34 – 78,5
ILBIANCA = 175,84 cm2
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
