frazioni algebriche sono espressioni che hanno almeno un'incognita al denominatore. Gli incogniti sono numeri sconosciuti, solitamente rappresentati da lettere. In questo modo è possibile definire le operazioni matematiche di base anche per il frazioni algebriche.
La tecnica usata per sommare e sottrarre frazioni algebriche è esattamente lo stesso usato per frazioni numeriche, anche diviso in due casi. La differenza sta nei dispositivi matematici utilizzati per consentire i calcoli, come ad esempio fattorizzazione polinomiale o proprietà di potenza.
Caso 1: frazioni algebriche con uguale denominatore
quando il frazioni algebriche hanno gli stessi denominatori, possono essere aggiunto o sottratto direttamente, semplicemente ripetendo il denominatore comune ed eseguendo l'operazione solo con i numeratori. Nota il seguente esempio:
16xk2 – 10xk2 = 16xk2 – 10xk2 = 6xk2
sì sì sì sì
Indipendentemente dalla forma frazioni algebriche oppure se i numeratori sono termini simili, basta mantenere il denominatore e azionare i numeratori con le regole dei segni più.
Caso 2: Frazioni algebriche con denominatori diversi
quando il frazioni algebriche da aggiungere o sottrarre hanno denominatori diversi, è necessario trovare frazioni equivalenti a quelli che hanno uguale denominatore per dopo aggiungili. La procedura per trovare queste frazioni è la stessa dell'aggiunta di frazioni numeriche: calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori, trovare le frazioni equivalenti e quindi eseguire il addizione/sottrazione di frazioni con denominatori uguali. Nota il seguente esempio di addizione:
a + b + 4°2 – a - b
tab2 - B2 a + b
Minimo comun multiplo dei denominatori
Calcolare la MMC di numeri interi non è un compito impegnativo. Tuttavia, il minimo tra i polinomi richiede molta pratica. Per sapere come eseguire questo calcolo, leggi l'articolo “Least Common Multiple of Polynomials” qui.
In breve, è necessario scomporre in fattori i polinomi dei denominatori e quindi moltiplicare tutti i fattori che hanno la stessa base con un esponente più alto senza ripetizioni.
Pertanto, i denominatori nell'esempio precedente sono: a – b, (a – b)(a + b), che è la forma fattorizzata di a2 - B2, e a + b. Il MMC tra questi denominatori è (a – b)(a + b), che è precisamente il prodotto di fattori con la stessa base con l'esponente più alto senza ripetizioni. Fatto ciò, riscrivi le frazioni dell'esempio utilizzando il nuovo denominatore comune e lasciando gli spazi per trovare i numeratori equivalenti.
a + b + 4°2 – a - b = + –
tab2 - B2 a + b (a - b) (a + b) (a - b) (a + b) (a - b) (a + b)
Trova le frazioni equivalenti
Per trovare il numeratore del primo frazione equivalente, dividi la MMC trovata per il denominatore della prima frazione data e poi moltiplica il risultato per il suo numeratore. Il risultato di questo sarà il numeratore del primo frazione equivalente. Per gli altri, ripetere il processo utilizzando le rispettive frazioni.
Quindi, il numeratore del primo frazione equivalente è il risultato di (a – b)(a + b) diviso per a – b e moltiplicato per a + b. Ne risulta (a + b)2. Continuando i calcoli per gli altri frazioni e mettendo i risultati nei rispettivi numeratori, si ha:
a + b + 4°2 – a - b = (a + b)2 + 4°2 – (a - b)2
tab2 - B2 a + b (a - b) (a + b) (a - b) (a + b) (a - b) (a + b)
Eseguire addizioni/sottrazioni
In quest'ultima fase, le operazioni proposte vengono eseguite in modo efficace. Orologio:
(a + b)2 + 4°2 – (a - b)2 =
(a – b)(a + b) (a – b)(a + b) (a – b)(a + b)
(a + b)2 + 4°2 – (a – b)2 =
(a - b) (a + b)
Il2 + 2ab + b2 + 4°2 - a2 + 2ab - b2 =
(a - b) (a + b)
2b + 4a2 + 2b =
(a - b) (a + b)
4°2 + 4ab =
(a - b) (a + b)
È anche in questo passaggio che il risultato è semplificato tramite fattorizzazione di polinomi e talvolta proprietà di potenze.
4°2 + 4ab =
(a - b) (a + b)
4a (a + b) =
(a - b) (a + b)
4Il
a - b
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao-subtracao-fracoes-algebricas.htm