Sistema di equazioni: come calcolare, metodi, esercizi – brazil school

Consideriamo un sistema di equazioni quando andiamo a risolvere problemi che coinvolgono quantità numeriche e che, in genere, si ricorre all'uso di equazioni rappresentare tali situazioni. Nella maggior parte dei problemi reali, dovremmo considerarne più di uno equazione simultaneamente, che quindi dipende dalla progettazione dei sistemi.

Problemi come la modellazione del traffico possono essere risolti utilizzando sistemi lineari. dobbiamo capire gli elementi di un sistema lineare, quali metodi usare e come determinarne soluzione.

I sistemi di equazioni sono quelli che funzionano con più di una quantità numerica.

Equazioni

Il nostro studio riguarderà i sistemi di equazioni lineari, quindi capiamo prima cosa a equazione lineare.

Un'equazione si dice lineare quando può essere scritta in questo modo:

Il₁ ·X₁ + il₂ ·X₂ + il₃ ·X₃ +...+ a_no ·X_no = k

In cui la_1, Il_2, Il_3,..., Il_no) loro sono il coefficienti dell'equazione, (x_1, X_2, X_3,..., X_no) sono i incognito e deve essere lineare e k è il termineindipendente.

• Esempi

• -2x + 1 = -8 ® Equazione lineare con un'incognita
• 5p + 2r =5 ® Equazione lineare con due incognite
• 9x – y - z = 0 ® Equazione lineare con tre incognite
• 8ab +c – d = -9 ® Equazione non lineare

Per saperne di più: Differenze tra funzione ed equazione

Come calcolare un sistema di equazioni?

La soluzione di un sistema lineare è ogni insieme ordinato e finito che soddisfa tutte le equazioni del sistema contemporaneamente. Il numero di elementi dell'insieme di soluzioni è sempre uguale al numero di incognite nel sistema.

• Esempio

Considera il sistema:

La coppia ordinata (6; -2) soddisfa entrambe le equazioni, quindi è la soluzione del sistema. L'insieme formato dalle soluzioni del sistema si chiama set di soluzioni. Dall'esempio sopra abbiamo:

S = {(6; -2)}

Il modo di scrivere con parentesi graffe indica un insieme di soluzioni (sempre tra parentesi) formato da una coppia ordinata (sempre tra parentesi).

Osservazione: Se due o più sistemi hanno il stessa soluzione insieme, questi sistemi sono chiamati sistemi equivalenti.

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione si riduce a tre passaggi seguenti. Per questo, considera il sistema

• Passo 1

Il primo passo è scegli una delle equazioni (il più facile) e isolare uno degli incogniti (il più facile). Così,

x – 2y = -7

x = -7 + 2y

• Passo 2

Nel secondo passaggio, basta sostituire, nell'equazione non scelta, l'incognita isolato nella prima fase. Presto,

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2a) + 2a = - 5

-21 +6a + 2a =-5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

• Passaggio 3

Il terzo passo consiste in sostituire il valore trovato found nel secondo passaggio in una qualsiasi delle equazioni. Così,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 +4

x = -3

Pertanto, la soluzione del sistema è S {(-3, 2)}.

metodo di addizione

Per eseguire il metodo di addizione, dobbiamo ricordare che il i coefficienti di una delle incognite devono essere opposti, cioè avente numeri uguali con segno opposto. Consideriamo lo stesso sistema del metodo di sostituzione.

Vedi che i coefficienti incogniti sì soddisfano la nostra condizione, quindi è sufficiente aggiungere ciascuna delle colonne del sistema, ottenendo l'equazione:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

E sostituendo il valore di x in una qualsiasi delle equazioni abbiamo:

x - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2a) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Pertanto, la soluzione del sistema è S {(-3, 2)}

Leggi anche: Risoluzione di problemi con sistemi di equazioni

Classificazione dei sistemi lineari

Possiamo classificare un sistema lineare in base al numero di soluzioni. Un sistema lineare può essere classificato in possibile e determinato, possibile eindeterminato e impossibile.

→ Il sistema è possibile e determinato (SPD): soluzione unica

→ Sistema possibile e indeterminato (SPI): più di una soluzione

→ Sistema impossibile: nessuna soluzione

Guarda lo schema:

Esercizio risolto

Domanda 1 - (Vunesp) Una matita meccanica, tre quaderni e una penna costano insieme 33 reais. Due matite meccaniche, sette quaderni e due penne costano insieme 76 reais. Il costo di una matita meccanica, un taccuino e una penna, insieme, in reais è:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 38

Soluzione

Assegniamo l'ignoto X al prezzo di ogni portamine, sì al prezzo di ogni quaderno e z al prezzo di ogni penna. Dalla dichiarazione, dobbiamo:

Moltiplicando l'equazione superiore per -2 dobbiamo:

Sommando termine a termine, dovremo:

y = 10

Sostituendo il valore di sì trovata nella prima equazione, dobbiamo:

x + 3y + z = 33

x + 30 + z = 33

x + z = 3

Pertanto, il prezzo di una matita, un quaderno e una penna è:

x + y + z = 13 reais.

Do alternativo

di Robson Luiz
Insegnante di matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm