il cerchio trigonometrico è un cerchio di raggio 1 rappresentato nella piano cartesiano. In esso, l'asse orizzontale è l'asse del coseno e l'asse verticale è l'asse del seno. Può anche essere chiamato un ciclo trigonometrico.
Viene utilizzato per effettuare lo studio dei rapporti trigonometrici. Con esso, è possibile comprendere meglio le principali ragioni trigonometriche per angoli maggiore di 180º, ovvero: il seno, il coseno e la tangente.
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Passo dopo passo per costruire il cerchio trigonometrico
Per costruire il cerchio trigonometrico, usiamo due assi, uno verticale e uno orizzontale, come un piano cartesiano. L'asse orizzontale è noto come asse del coseno, e l'asse verticale è noto come asse seno.
Con la costruzione degli assi, disegniamo il grafico di un cerchio che ha raggio 1.
Rapporti trigonometrici nel cerchio
Usiamo il cerchio per trovare il valore di seno, coseno e tangente, in base al valore dell'angolo. avendo in sull'asse verticale il valore del seno e sull'asse orizzontale il valore del coseno, determinando un angolo sul cerchio trigonometrico, è possibile trovare il valore di seno e coseno analizzando il coordinate del punto in cui il segmento di linea collega il centro del cerchio e la circonferenza, rappresentato da P nell'immagine a Seguire. Se tracciamo la tangente al cerchio nel punto (1.0), possiamo anche calcolare analiticamente la tangente di questo angolo secondo l'immagine:
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Radianti del cerchio trigonometrico
Sappiamo che un arco può essere misurato utilizzando due diverse unità di misura: la misura in gradi e la misura in radianti. Lo sappiamo la circonferenza è 360º e che la lunghezza del tuo arco è 2π:
Quadranti del cerchio trigonometrico
Sia in radianti che in gradi, è possibile definire il quadrante in cui si trova un determinato arco in base alla sua misurazione.
Analizzando il ciclo, dobbiamo:
primo quadrante: angoli compresi tra 0 e 90° o tra 0 e π/2 radianti;
secondo quadrante: angoli compresi tra 90° e 180° o π/2 e π radianti;
terzo quadrante: angoli compresi tra 180º e 270º o e 3 π/2 radianti;
quarto quadrante: angoli compresi tra 270° e 360° o 3π/2 e 2π radianti.
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Angoli notevoli nel cerchio trigonometrico
All'inizio dello studio di trigonometria, abbiamo appreso che gli angoli notevoli sono gli angoli di 30º, 45º e 60º, che hanno il valore del seno, del coseno e della tangente noti. Tuttavia, a causa della simmetria del ciclo trigonometrico, è possibile trovare i valori di seno e coseno per questi angoli e gli angoli simmetrici a lui in ciascuno dei quadranti.
Segni trigonometrici del cerchio
Per capire qual è il segno di ciascuno dei rapporti trigonometrici nel ciclo, è sufficiente analizzare i valori degli assi nel piano cartesiano.
Cominciamo dal coseno. Poiché è l'asse orizzontale, il coseno degli angoli inclusi a destra dell'asse verticale è positivo e il coseno degli angoli inclusi a sinistra dell'asse verticale è negativo.
Ora, per capire il segno del seno di un angolo, ricorda solo che l'asse verticale è l'asse del seno, quindi il seno di un angolo che è sopra l'asse orizzontale è positivo; ma se l'angolo è al di sotto dell'asse orizzontale, il seno di questo angolo è negativo, come mostrato nell'immagine seguente:
Lo sappiamo la tangente è il rapporto tra seno e coseno, quindi, per trovare il segno della tangente per ciascuno dei quadranti, giochiamo al gioco dei segni, che rende la tangente positiva nei quadranti dispari e negativa nei quadranti pari:
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simmetria nel cerchio
Analizzando il ciclo trigonometrico, è possibile costruire un modo per ridurre seno, coseno e tangente al primo quadrante. Questa riduzione significa trovare nel primo quadrante un angolo simmetrico ad un angolo degli altri quadranti, perché, quando lavoriamo con un angolo simmetrico, il valore dei rapporti trigonometrici è lo stesso, cambiando solo il suo segnale.
Riduzione di un angolo che si trova nel 2° quadrante al 1° quadrante
Partendo dagli angoli che si trovano nel 2° quadrante, dobbiamo:
Come sappiamo, nel 1° e 2° quadrante, il seno è positivo. Quindi, per calcolare la riduzione del seno dal 2° quadrante al 1° quadrante, usiamo la formula:
peccato x= peccato (180º - x)
Il coseno e la tangente nel 2° quadrante sono negativi. Per ridurre il coseno dal 2° quadrante al 1° quadrante, usiamo la formula:
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Esempio:
Qual è il valore del seno e del coseno di un angolo di 120°?
L'angolo di 120° è un secondo angolo di quadrante poiché è compreso tra 90° e 180°. Per ridurre questo angolo al 1° quadrante, calcoliamo:
sin 120° = sin (180° – 120°)
peccato 120º = peccato 60º
L'angolo di 60° è un angolo notevole, quindi il suo valore del seno è noto, quindi:
Ora calcoliamo il tuo coseno:
cos 120º = – cos (180 – 120)
cos 120º = - cos 60º
Poiché conosciamo il coseno di 60°, dobbiamo:
Riduzione di un angolo che si trova nel 3° quadrante al 1° quadrante
Come nel 2° quadrante, c'è simmetria tra gli angoli nel 3° quadrante e gli angoli nel 1° quadrante.
Il seno e il coseno nel terzo quadrante sono negativi. Quindi, per ridurre seno e coseno dal 3° quadrante al 1° quadrante, usiamo la formula:
peccato x = – peccato (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
La tangente nel 3° quadrante è positiva. Per ridurlo, usiamo la formula:
tg x = tg (x – 180º)
Esempio:
Calcola il seno, il coseno e la tangente di 225º.
peccato 225º = – peccato (225º – 180º)
peccato 225º = – peccato 45º
Poiché 45º è un angolo notevole, quando si consulta la tabella, dobbiamo:
Ora, calcolando il coseno, dobbiamo:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Sappiamo che tg45º = 1, quindi:
tg 225º = 1
Riduzione di un angolo che si trova nel 4° quadrante al 1° quadrante
Con lo stesso ragionamento delle precedenti riduzioni, esiste una simmetria tra il 4° ed il 1° quadrante:
I valori di seno e tangente nel 4° quadrante sono negativi. Quindi, per effettuare la riduzione dal 4° al 1° quadrante, usiamo la formula:
peccato x = – peccato (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
Il coseno nel 4° quadrante è positivo. Quindi, per ridurre al 1° quadrante, la formula è:
cos x = cos (360º - x)
Esempio:
Calcola il valore di seno e coseno di 330º.
A partire dal seno:
Calcoliamo ora il coseno:
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Esercizi risolti sul cerchio trigonometrico
domanda 1 - Durante lo studio del momento circolare, un fisico ha analizzato un oggetto che ruotava su se stesso, formando un angolo di 15.240º. Analizzando questo angolo, l'arco da esso formato è in:
A) quadrante I.
B) quadrante II.
C) quadrante III.
D) quadrante IV.
E) sopra uno degli assi.
Risoluzione
Alternativa B.
Sappiamo che ogni 360° questo oggetto ha completato un cerchio intorno a sé. Quando si esegue il divisione di 15.240 per 360, troveremo quanti giri completi questo oggetto ha fatto su se stesso, ma il nostro interesse principale è nel resto, che rappresenta l'angolo con cui si è fermato.
15.240: 360 = 42,333…
Il risultato mostra che ha fatto 42 giri su se stesso, ma 360 · 42 = 15,120, quindi ha lasciato un angolo di:
15.240 – 15.120 = 120º
Sappiamo che 120° è un secondo angolo di quadrante.
Domanda 2 - Si prega di giudicare le seguenti affermazioni:
I → Quando si calcola tg 140º, il valore sarà negativo.
II → L'angolo di 200° è un angolo del 2° quadrante.
III → Sen 130º = sin 50º.
Segna l'alternativa corretta:
A) Solo io sono falso.
B) Solo II è falso.
C) Solo III è falso.
D) Sono tutte vere.
Risoluzione
Alternativa B.
I → Vero, poiché l'angolo di 140º appartiene al 2° quadrante, in cui la tangente è sempre negativa.
II → Falso, poiché l'angolo di 200° è un angolo del 3° quadrante.
III → Vero, perché per ridurre un angolo dal 2° al 1° quadrante basta calcolare la differenza di 180° – x, quindi:
sin 130° = sin (180° – 130°)
peccato 130° = peccato 50°
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm