Cerchio trigonometrico: che cos'è, esempi, esercizi

il cerchio trigonometrico è un cerchio di raggio 1 rappresentato nella piano cartesiano. In esso, l'asse orizzontale è l'asse del coseno e l'asse verticale è l'asse del seno. Può anche essere chiamato un ciclo trigonometrico.

Viene utilizzato per effettuare lo studio dei rapporti trigonometrici. Con esso, è possibile comprendere meglio le principali ragioni trigonometriche per angoli maggiore di 180º, ovvero: il seno, il coseno e la tangente.

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Passo dopo passo per costruire il cerchio trigonometrico

Per costruire il cerchio trigonometrico, usiamo due assi, uno verticale e uno orizzontale, come un piano cartesiano. L'asse orizzontale è noto come asse del coseno, e l'asse verticale è noto come asse seno.

Asse seno in blu e verticale, asse del coseno in rosso e orizzontale.
L'asse verticale è l'asse del seno e l'asse orizzontale è l'asse del coseno.

Con la costruzione degli assi, disegniamo il grafico di un cerchio che ha raggio 1.

Cerchio trigonometrico che indica la misura del raggio pari a 1.
Cerchio trigonometrico che indica la misura del raggio pari a 1.

Rapporti trigonometrici nel cerchio

Usiamo il cerchio per trovare il valore di seno, coseno e tangente, in base al valore dell'angolo. avendo in sull'asse verticale il valore del seno e sull'asse orizzontale il valore del coseno, determinando un angolo sul cerchio trigonometrico, è possibile trovare il valore di seno e coseno analizzando il coordinate del punto in cui il segmento di linea collega il centro del cerchio e la circonferenza, rappresentato da P nell'immagine a Seguire. Se tracciamo la tangente al cerchio nel punto (1.0), possiamo anche calcolare analiticamente la tangente di questo angolo secondo l'immagine:

Cerchio trigonometrico che indica il punto P, l'angolo α e anche il seno, il coseno e la tangente di questo angolo.
Le coordinate del punto P sono P(cosα, sinα).

Leggi anche: Cosa sono secante, cosecante e cotangente?

Radianti del cerchio trigonometrico

Cerchio trigonometrico con i suoi angoli misurati in gradi (0°,90°, 180°,270° e 360°).
Ciclo trigonometrico con misura in gradi

Sappiamo che un arco può essere misurato utilizzando due diverse unità di misura: la misura in gradi e la misura in radianti. Lo sappiamo la circonferenza è 360º e che la lunghezza del tuo arco è 2π:

Cerchio trigonometrico con i suoi angoli misurati in radianti (0, π/2, π, 3π/2, 2π).
Misurazione del ciclo trigonometrico in radianti

Quadranti del cerchio trigonometrico

Sia in radianti che in gradi, è possibile definire il quadrante in cui si trova un determinato arco in base alla sua misurazione.

Cerchio trigonometrico con indicazione dei quadranti
Cerchio trigonometrico con indicazione dei quadranti

Analizzando il ciclo, dobbiamo:

  • primo quadrante: angoli compresi tra 0 e 90° o tra 0 e π/2 radianti;

  • secondo quadrante: angoli compresi tra 90° e 180° o π/2 e π radianti;

  • terzo quadrante: angoli compresi tra 180º e 270º o e 3 π/2 radianti;

  • quarto quadrante: angoli compresi tra 270° e 360° o 3π/2 e 2π radianti.

Leggi anche: Caratteristiche e proprietà del piano

Angoli notevoli nel cerchio trigonometrico

All'inizio dello studio di trigonometria, abbiamo appreso che gli angoli notevoli sono gli angoli di 30º, 45º e 60º, che hanno il valore del seno, del coseno e della tangente noti. Tuttavia, a causa della simmetria del ciclo trigonometrico, è possibile trovare i valori di seno e coseno per questi angoli e gli angoli simmetrici a lui in ciascuno dei quadranti.

Cerchio trigonometrico con i valori di seno e coseno degli angoli notevoli
Valori di seno e coseno per i principali angoli della trigonometria

Segni trigonometrici del cerchio

Per capire qual è il segno di ciascuno dei rapporti trigonometrici nel ciclo, è sufficiente analizzare i valori degli assi nel piano cartesiano.

Cominciamo dal coseno. Poiché è l'asse orizzontale, il coseno degli angoli inclusi a destra dell'asse verticale è positivo e il coseno degli angoli inclusi a sinistra dell'asse verticale è negativo.

Cerchio trigonometrico che riporta i segni del coseno nei quadranti: positivo nel 1° e 4°, negativo nel 2° e 3°.
Il coseno è positivo nel 1° e 4° quadrante e negativo nel 2° e 3° quadrante.

Ora, per capire il segno del seno di un angolo, ricorda solo che l'asse verticale è l'asse del seno, quindi il seno di un angolo che è sopra l'asse orizzontale è positivo; ma se l'angolo è al di sotto dell'asse orizzontale, il seno di questo angolo è negativo, come mostrato nell'immagine seguente:

Cerchio trigonometrico che mostra i segni del seno nei quadranti: positivo nel 1° e 2°, negativo nel 3° e 4°.
Il seno è positivo nel 1° e 2° quadrante e negativo nel 3° e 4° quadrante.

Lo sappiamo la tangente è il rapporto tra seno e coseno, quindi, per trovare il segno della tangente per ciascuno dei quadranti, giochiamo al gioco dei segni, che rende la tangente positiva nei quadranti dispari e negativa nei quadranti pari:

Cerchio trigonometrico che mostra i segni della tangente nei quadranti: positivo nel 1° e 3°, negativo nel 2° e 4°.
La tangente è positiva nel 1° e 4° quadrante e negativa nel 2° e 3° quadrante.

Leggi anche: Cosa sono il semi-retto, il semipiano e il semispazio?

simmetria nel cerchio

Analizzando il ciclo trigonometrico, è possibile costruire un modo per ridurre seno, coseno e tangente al primo quadrante. Questa riduzione significa trovare nel primo quadrante un angolo simmetrico ad un angolo degli altri quadranti, perché, quando lavoriamo con un angolo simmetrico, il valore dei rapporti trigonometrici è lo stesso, cambiando solo il suo segnale.

  • Riduzione di un angolo che si trova nel 2° quadrante al 1° quadrante

Partendo dagli angoli che si trovano nel 2° quadrante, dobbiamo:

Riduzione da un angolo che si trova nel 2° quadrante al 1° quadrante sul cerchio trigonometrico.

Come sappiamo, nel 1° e 2° quadrante, il seno è positivo. Quindi, per calcolare la riduzione del seno dal 2° quadrante al 1° quadrante, usiamo la formula:

peccato x= peccato (180º - x)

Il coseno e la tangente nel 2° quadrante sono negativi. Per ridurre il coseno dal 2° quadrante al 1° quadrante, usiamo la formula:

cosx = – cos (180º – x)

tg x = – tg (180º – x)

Esempio:

Qual è il valore del seno e del coseno di un angolo di 120°?

L'angolo di 120° è un secondo angolo di quadrante poiché è compreso tra 90° e 180°. Per ridurre questo angolo al 1° quadrante, calcoliamo:

sin 120° = sin (180° – 120°)

peccato 120º = peccato 60º

L'angolo di 60° è un angolo notevole, quindi il suo valore del seno è noto, quindi:

Valore seno angolo 120 °

Ora calcoliamo il tuo coseno:

cos 120º = – cos (180 – 120)

cos 120º = - cos 60º

Poiché conosciamo il coseno di 60°, dobbiamo:

  • Riduzione di un angolo che si trova nel 3° quadrante al 1° quadrante

Come nel 2° quadrante, c'è simmetria tra gli angoli nel 3° quadrante e gli angoli nel 1° quadrante.

 Riduzione da un angolo che si trova nel 3° quadrante al 1° quadrante nel cerchio trigonometrico

Il seno e il coseno nel terzo quadrante sono negativi. Quindi, per ridurre seno e coseno dal 3° quadrante al 1° quadrante, usiamo la formula:

peccato x = – peccato (x – 180º)

cosx = – cos (x – 180º)

La tangente nel 3° quadrante è positiva. Per ridurlo, usiamo la formula:

tg x = tg (x – 180º)

Esempio:

Calcola il seno, il coseno e la tangente di 225º.

peccato 225º = – peccato (225º – 180º)

peccato 225º = – peccato 45º

Poiché 45º è un angolo notevole, quando si consulta la tabella, dobbiamo:

Valore seno angolo di 225°

Ora, calcolando il coseno, dobbiamo:

tg 225º = tg (225º - 180º)

tg 225º = tg 45º

Sappiamo che tg45º = 1, quindi:

tg 225º = 1

  • Riduzione di un angolo che si trova nel 4° quadrante al 1° quadrante

Con lo stesso ragionamento delle precedenti riduzioni, esiste una simmetria tra il 4° ed il 1° quadrante:

Riduzione da un angolo che si trova nel 4° quadrante al 1° quadrante nel cerchio trigonometrico

I valori di seno e tangente nel 4° quadrante sono negativi. Quindi, per effettuare la riduzione dal 4° al 1° quadrante, usiamo la formula:

peccato x = – peccato (360º – x)

tg x = – tg (360º – x)

Il coseno nel 4° quadrante è positivo. Quindi, per ridurre al 1° quadrante, la formula è:

cos x = cos (360º - x)

Esempio:

Calcola il valore di seno e coseno di 330º.

A partire dal seno:

Calcolo del seno dell'angolo di 330°

Calcoliamo ora il coseno:

Calcolo del valore del coseno dell'angolo 330°

Leggi anche: Come calcolare la distanza tra due punti nello spazio?

Esercizi risolti sul cerchio trigonometrico

domanda 1 - Durante lo studio del momento circolare, un fisico ha analizzato un oggetto che ruotava su se stesso, formando un angolo di 15.240º. Analizzando questo angolo, l'arco da esso formato è in:

A) quadrante I.

B) quadrante II.

C) quadrante III.

D) quadrante IV.

E) sopra uno degli assi.

Risoluzione

Alternativa B.

Sappiamo che ogni 360° questo oggetto ha completato un cerchio intorno a sé. Quando si esegue il divisione di 15.240 per 360, troveremo quanti giri completi questo oggetto ha fatto su se stesso, ma il nostro interesse principale è nel resto, che rappresenta l'angolo con cui si è fermato.

15.240: 360 = 42,333…

Il risultato mostra che ha fatto 42 giri su se stesso, ma 360 · 42 = 15,120, quindi ha lasciato un angolo di:

15.240 – 15.120 = 120º

Sappiamo che 120° è un secondo angolo di quadrante.

Domanda 2 - Si prega di giudicare le seguenti affermazioni:

I → Quando si calcola tg 140º, il valore sarà negativo.

II → L'angolo di 200° è un angolo del 2° quadrante.

III → Sen 130º = sin 50º.

Segna l'alternativa corretta:

A) Solo io sono falso.

B) Solo II è falso.

C) Solo III è falso.

D) Sono tutte vere.

Risoluzione

Alternativa B.

I → Vero, poiché l'angolo di 140º appartiene al 2° quadrante, in cui la tangente è sempre negativa.

II → Falso, poiché l'angolo di 200° è un angolo del 3° quadrante.

III → Vero, perché per ridurre un angolo dal 2° al 1° quadrante basta calcolare la differenza di 180° – x, quindi:

sin 130° = sin (180° – 130°)

peccato 130° = peccato 50°

Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm

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