Divisione di polinomi ha diversi metodi di risoluzione. Presenteremo tre metodi per questa divisione: il metodo Cartesio (coefficienti da determinare), il metodo chiave e il dispositivo pratico di Briot-Ruffini.
leggi di più: Equazione polinomiale: forma e come risolverla
divisione polinomiale
Quando si divide un polinomio P (x) per un polinomio D (x) diverso da zero, dove il grado di P è maggiore di D (P > D), significa che dobbiamo trovare un polinomio Q (x) e R (x), in modo che:
Nota che questo processo equivale a scrivere:
P (x) → dividendo
D (x) → divisore
Q (x) → quoziente
R (x) → resto
Dalle proprietà del potenziamento, dobbiamo grado quoziente è uguale alla differenza tra i gradi del dividendo e del divisore.
Q = P - D
Inoltre, quando il resto della divisione tra P(x) e D(x) è uguale a zero, si dice che P(x) è divisibile da D(x).
Regole di divisione polinomiale
Metodo dei coefficienti da determinare — metodo di scarta
Per eseguire la divisione tra i polinomi P (x) e D (x), con grado di P maggiore del grado di D, seguiamo i passaggi:
Passo 1 - Determinare il grado del polinomio quoziente Q (x);
Passo 2 - Prendi più laurea possibile per il resto della divisione R(X) (Ricorda: R(x) = 0 o R < D);
Passaggio 3 - Scrivere i polinomi Q e R con coefficienti letterali, in modo che P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
Esempio
Sapendo che P (x) = 4x3 - X2 + 2 e che D (x) = x2 + 1, determinare il quoziente polinomio e il resto.
Il grado del quoziente è 1 perché:
Q =P - D
Q =3 – 2
Q = 1
Quindi nel polinomio Q(x) = a·x +b, il resto R(x) è un polinomio il cui grado massimo può essere 1, quindi: R(x) = c ·x +d. Sostituendo i dati nella condizione del passaggio 3, abbiamo:
Confrontando i coefficienti dei polinomi si ha:
Quindi, il polinomio Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3.
metodo cavere
Consiste nell'eseguire la divisione tra polinomi seguendo la stessa idea di dividere due numeri, la chiamata algoritmo di divisione. Vedere il seguente esempio.
Consideriamo ancora i polinomi P(x) = 4x3 - X2 + 2 e D (x) = x2 +1, e ora li divideremo usando il metodo chiave.
Passo 1 - Completare il polinomio del dividendo con coefficienti nulli, se necessario.
P(x) = 4x3 - X2 + 0x + 2
Passo 2 - Dividi il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore e poi moltiplica il quoziente per ogni divisore. Guarda:
Passaggio 3 - Dividi il resto del passaggio 2 per il quoziente e ripeti questo processo fino a quando il grado del resto è inferiore al grado del quoziente.
Quindi, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3.
Accedi anche a: Addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi
Il pratico dispositivo di BriotRuffini
usato per dividere polinomi per binomi.
Consideriamo i polinomi: P(x) = 4x3 + 3 e D (x) = 2x + 1.
Questo metodo consiste nel disegnare due segmenti, uno orizzontale e uno verticale, e su questi segmenti mettiamo il coefficiente del dividendo e la radice del polinomio divisore, inoltre, il primo viene ripetuto coefficiente. Guarda:
Nota che la media più piccola è la radice del divisore e che il primo coefficiente è stato diviso.
Ora, dobbiamo moltiplicare la radice del divisore per il termine ripetuto e aggiungerlo al successivo, vedi:
L'ultimo numero trovato nel dispositivo pratico è il resto, e il resto sono i coefficienti del polinomio quoziente. Dobbiamo dividere questi numeri per il primo coefficiente del divisore, in questo caso per 2. Così:
Per saperne di più su questo metodo di divisione dei polinomi, vai a: divisione di polinomi utilizzando il dispositivo Briot-Ruffini.
esercizi risolti
Domanda 1 (UFMG) Il polinomio P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 è divisibile per D (x) = 3x2 - 2x. Il valore di m è:
Soluzione
Poiché il polinomio P è divisibile per D, allora possiamo applicare l'algoritmo di divisione. Così,
Poiché è stato dato che i polinomi sono divisibili, il resto è uguale a zero. Presto,
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm