Cos'è la progressione aritmetica?

progressione arimetica è una sequenza numerica in cui la differenza tra un termine e il suo predecessore risulta sempre in lo stesso valore, chiamato Motivo. Si consideri ad esempio la seguente sequenza:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)

Diamo un'occhiata a cosa succede alla sottrazione di qualsiasi termine da parte dei suoi predecessori:

20 – 18 = 2

18 – 16 = 2

16 – 14 = 2

14 – 12 = 2

.

.

.

4 – 2 = 2

Possiamo quindi dire che motivo (r) di questa sequenza numerica è 2. Considera la seguente sequenza numerica:

(Il₁, a₂, a₃, a₄, …, Il_n-1, a_no,...)

Questa sequenza numerica può essere classificata come a Progressione aritmetica (AP) se per qualsiasi elemento della sequenza vale:

Il_no = il_n-1 + r, essere in quel modo r e il Motivo della PA

Una progressione aritmetica può essere classificata come:

1. Ascendente PA

Una PA si dice ascendente se ogni termine della sequenza è più grande rispetto al termine precedente. Questo accade sempre quando il la ragione è maggiore di zero. Esempi:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → r = 1

(-20, -10, 0, 10, 20, 30,...) → r = 10

1. PA. costante

Una PA è considerata costante se ogni termine della sequenza è uguale al termine precedente o successivo. Questo accade sempre quando il il rapporto è uguale a zero. Esempi:

(1, 1, 1, 1, 1, 1, …) → r = 0

(30, 30, 30, 30, 30, 30,...) → r = 0

1. PA. discendente

Diciamo che una PA è decrescente se ogni termine della sequenza è più piccolo rispetto al termine precedente. Questo accade sempre quando il il rapporto è minore di zero. Esempi:

(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, …) → r = -1

(15, 10, 5, 0, -5, -10,...) → r = -5

Data una qualsiasi progressione aritmetica, conoscendo il primo termine della sequenza e il motivo della progressione, siamo stati in grado di identificare qualsiasi altro elemento di questa BP. Si noti che un termine sottratto al suo predecessore risulta sempre ragionevole. In una PA, possiamo scrivere nouguaglianze che seguono questo schema, che permette l'assemblaggio di un sistema di equazioni. Aggiungendo il (n-1) equazioni affiancate avremo:

Il₂ – Il₁ = r

Il₃ - a₂ = r

Il₄ - a₃ = r

Il₅ - a₄ = r

.

.

.

Il_no - a_n-1 = r
Il_no - a₁ = (n - 1).r

Il_no = il₁ + (n – 1).r

Questa formula è chiamata Termine generale di una PA e attraverso di essa possiamo identificare qualsiasi termine di una progressione aritmetica.

Se vogliamo identificare il Somma dei termini di una PA finita, possiamo osservare che, in ogni progressione aritmetica finita, la somma del primo e dell'ultimo termine è uguale alla somma del secondo termine e del penultimo termine, e così via. Vediamo uno schema di seguito per illustrare questo fatto. S_norappresenta la somma dei termini.

S_no = il₁ + il₂ + il₃ + … + il_n-2 + il_n-1 + il_no,

Il₁ + il_no= il₂ + il_n-1 = il₃ + il_n-2

Quando aggiungiamo ogni coppia di termini, troviamo sempre lo stesso valore. Possiamo concludere che il valore di S_no sarà il prodotto di questa somma per la quantità di elementi che ha la PA, divisa per due, poiché si aggiungono gli elementi "a due a due". Ci rimane quindi la seguente formula:

S_no = (Il₁ + il_no).n
2

di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-aritmetica.htm