voi i triangoli hanno punti notevoli con molte applicazioni.. Alcuni di questi elementi, come altezza, mediana, bisettrice e bisettrice, sono dati da segmenti dritti all'interno del triangolo, hanno caratteristiche e applicazioni importanti, non solo in matematica.
Sappiamo che l'intersezione di due o più rette è data da un punto, quindi l'incontro di questi segmenti forma punti che hanno caratteristiche e proprietà importanti, sono:
- ortocentro
- baricentro
- circocentro
- centro
altezza del triangolo
l'altezza di a triangolo è il segmento formato dall'unione di uno dei vertici con il suo lato opposto o il suo prolungamento, in cui si forma un angolo di 90° tra il segmento e il lato. In ogni triangolo è possibile disegnarne tre altezze relative ad ogni lato. Guarda:
il segmento AG è l'altezza relativa al lato BC, e il segmento DH è l'altezza relativa al lato EF. Si noti che per determinare l'altezza relativa al lato EF, è stato necessario eseguire un'estensione del lato.
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Ortocentro
L'ortocentro è l'intersezione delle altezze relative ai tre vertici, cioè è punto d'incontro tra tutte le altezze di un triangolo.
Il punto oh è l'ortocentro del triangolo ABC.
L'ortocentro ha alcune proprietà importanti in alcuni tipi di triangoli, vedi:
→ No triangolo acuto, le altezze e l'ortocentro sono all'interno della figura.
→ In uno triangolo rettangolo, due altezze coincidono con i due lati, un'altra altezza è interna al triangolo, e l'ortocentro si trova al vertice di quel triangolo, che ha un angolo di 90°.
→ In uno triangolo ottuso, una delle altezze è all'interno del triangolo e le altre due sono al di fuori di esso, anche l'ortocentro si trova su questo esterno.
Leggi anche: Classificazione triangolos: criteri e nomi
mediano
La mediana di un triangolo è il segmento formato da unione di uno dei suoi vertici con il punto medio del lato opposto a quel vertice. Nota che, in un triangolo, è possibile determinare tre mediane relative a ciascun lato, vedi:
Il segmento di linea CD è la mediana relativa al lato AB. Nota che questo segmento ha il lato AB diviso in due parti uguali, cioè a metà.
baricentro
Il baricentro è dato da intersezione delle tre mediane di un triangolo, cioè dal punto di incontro delle tre mediane, cfr.:
Il punto G è il centro del triangolo ABC.
Come nell'ortocentro, il baricentro ha alcune proprietà importanti, vedi:
→ Il baricentro determinerà in ciascuno dei segmenti mediani che soddisfano ciascuna delle uguaglianze.
Esempio 1
Sapendo che il punto G nell'immagine seguente è il baricentro del triangolo ABC e che GD = 3 cm, determina la lunghezza del segmento CG.
Dalle proprietà del baricentro sappiamo che il rapporto tra il segmento GD e CG è pari alla metà. Quindi, sostituendo questi valori nella relazione, abbiamo:
→ Considerando la definizione di mediana, vedi che tutte le mediane sono all'interno del triangolo, quindi possiamo concludere che anche il baricentro di ogni triangolo è sempre all'interno della figura.. Questa osservazione è valida per qualsiasi triangolo.
Il baricentro ci dà anche un'importante caratteristica fisica dei triangoli, in quanto ci permette di bilanciarli, cioè la il baricentro è il centro di massa di un triangolo.
Vedi anche: Seno, coseno, tangente - rapporti trigonometrici
mediatrice
La bisettrice di un triangolo è data da a linea perpendicolare che passa per il punto medio su un lato di questo triangolo.
Circocentro
Il circocentro è definito da incontro delle bisettrici, cioè dall'intersezione tra loro. Se rappresentiamo un triangolo inscritto in a circonferenza, vedremo che il circocentro è il centro di questa circonferenza, vedi:
Il punto Mè il circocentro del triangolo ABC e il centro della circonferenza. I punti H, I e J sono, rispettivamente, i punti medi dei lati CB, CA e AB.
Il circocentro ha anche alcune proprietà quando viene disegnato sul triangolo rettangolo, sull'angolo ottuso e sull'angolo acuto.
→ Il circocentro in triangolo rettangolo è il punto medio dell'ipotenusa.
→ Il circocentro in a triangolo ottuso è all'esterno.
→ Il circocentro in a triangolo acuto rimane dentro.
Accedi anche a: Cerchio e circonferenza: quali sono le differenze?
Bisettrice
La bisettrice di un triangolo è data da retta che divide un angolo interno del triangolo. Quando disegni la bisettrice interna, vedi che avremo tre bisettrici interne relative ai tre lati del triangolo:
centro
Il centro è dato da intersezione delle bisettrici interne di un triangolo, cioè è dato dall'incontro di questi semidritti. Poiché le bisettrici sono interne, anche l'incentro sarà sempre all'interno del triangolo.
Incentro ha alcune proprietà utili per risolvere alcuni problemi, vedine qualcuna:
→ Il centro di un cerchio inscritto in un triangolo coincide con l'incentro di quella figura.
→ L'incentro di un triangolo è equidistante da tutti i suoi lati, cioè le distanze tra l'incentro ei tre lati del triangolo sono tutte uguali.
Esercizi risolti
domanda 1 – Sapendo che il segmento all'interno è la bisettrice relativa al lato AC e che le misure riportate in figura rappresentano l'angolo diviso per la bisettrice, determinare il valore di x.
Risoluzione
Definendo una bisettrice, sappiamo che divide l'angolo interno di un triangolo a metà, cioè in due parti uguali, quindi dobbiamo:
5x -10 = 3x + 20
risolvendo il equazione di primo grado, dovremo:
5x – 10 = 3x + 20
5x - 3x = 20 + 10
2x = 30
x = 15
Pertanto, x = 15.
Domanda 2 – Il segmento di retta perpendicolare tracciato da un vertice di un triangolo ad uno dei suoi lati si chiama:
l'altezza
b) bisettrice
c) bisettrice
d) mediana
e) base
Risoluzione
Dalle definizioni che abbiamo studiato, abbiamo visto che l'unica che soddisfa la condizione di enunciazione è l'altezza. Ricorda che l'altezza è il segmento perpendicolare a un lato di un triangolo.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
