Funzione inversa: che cos'è, grafico, esercizi

IL funzione inversa, come suggerisce il nome, è il funzione f(x)^-1, che fa esattamente l'inverso della funzione f(x). Affinché una funzione supporti un'inversa, deve essere biettore, cioè iniettore e suriettore allo stesso tempo. La legge di formazione di una funzione inversa fa l'opposto di ciò che fa la funzione f(x).

Ad esempio, se la funzione prende un valore da dominio e somma 2, la funzione inversa, invece di sommare, sottrae 2. trovare la legge di formazione della funzione inversa non è sempre un compito facile, poiché è necessario invertire le incognite x e y, nonché isolare y nella nuova equazione.

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Quando una funzione supporta l'inverso?

Rappresentazione grafica di una funzione e della sua funzione inversa.

Un ruolo è invertibile, cioè ha una funzione inversa, se, e solo se, è biettore. È importante ricordare cosa a funzione biiettore, che è una funzione iniettore, ovvero ogni elemento dell'immagine ha un singolo corrispondente di dominio. Ciò significa che elementi diversi nell'insieme A devono essere associati a elementi diversi nell'insieme insieme B, cioè non possono esistere due o più elementi dell'insieme A che abbiano la stessa corrispondenza nel impostare B.

Un ruolo è suriettiva se l'immagine è uguale al controdominio, cioè, non c'è elemento nell'insieme B a cui non sia associato un elemento nell'insieme A.

Sia la funzione f: A → B, dove A è dominio e B è controdominio, la funzione inversa di f sarà la funzione descritta da f^-1 : B→ A, cioè il dominio e il controdominio sono invertiti.

Esempio:

La funzione f: A → B è biunivoca, poiché è iniettiva (dopotutto, elementi distinti in A sono associati a elementi distinti in B) ed è anche suriettiva, poiché non è rimasto alcun elemento nell'insieme B, cioè il controdominio è lo stesso di impostato Immagine.

Pertanto, questa funzione è invertibile e la sua inversa è:

Come si determina la legge di formazione della funzione inversa?

Per trovare la legge di formazione della funzione inversa, abbiamo bisogno di invertire le incognite, cioè sostituendo x con y e y con x, e quindi isolando l'incognita y. Per questo, è importante che la funzione sia invertibile, cioè biiettore.

→ Esempio 1

Trova la legge di formazione della funzione inversa di f (x) = x + 5.

Risoluzione:

Sappiamo che f(x) = y, quindi y = x + 5. Eseguendo l'inversione di x e y, troveremo quanto segue equazione:

x = y + 5

Ora isoliamo la y:

– 5 + x = y
y = x – 5

Chiaramente, se f(x) aggiunge 5 al valore di x, allora il suo inverso f(x) ^{- 1} farà il contrario, cioè x meno 5.

→ Esempio 2

Data la funzione la cui legge di formazione è f(x) = 2x – 3, quale sarà la legge di formazione del suo inverso?

→ Esempio 3

Calcola la legge di formazione dell'inversa della funzione y = 2^X.

Risoluzione:

y = 2^X
Cambiando x per y:
x = 2^sì

applicando logaritmo su entrambi i lati:

log₂x = log₂2^sì
log₂x = ylog₂2
log₂x = y · 1
log₂x = y
y = log₂X

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Grafico della funzione inversa

Il grafico della funzione inversa f ^-1 sarà sempre simmetrico al grafico della funzione f rispetto alla retta y = x, che permette di analizzare il comportamento di questi funzioni, anche se in alcuni casi non possiamo descrivere la legge di formazione della funzione inversa, a causa della sua complessità.

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Esercizi risolti

1) Se f^-1 è la funzione inversa di f, che va da R a R, la cui legge di formazione f (x) = 2x – 10, il valore numerico di f ^-1(2) é:

a 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Risoluzione:

→ 1° passo: trova l'inverso di f.

→ 2° passo: sostituire 2 al posto di x in f ^-1(X).

Alternativa C.

2) Sia f: A → B una funzione la cui legge di formazione è f (x) = x² + 1, dove A {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {1,2,5}, è corretto dire che:

a) la funzione è invertibile, in quanto biiettore.

b) la funzione non è invertibile, in quanto non è iniettabile.

c) la funzione non è invertibile, in quanto non suriettiva

d) la funzione non è invertibile, in quanto non è né suriettiva né iniettabile.

e) la funzione non è invertibile, in quanto biiettore.

Risoluzione:

Perché la funzione sia invertibile, deve essere biunivoca, cioè suriettiva e iniettante. Per prima cosa analizziamo se è suriettiva.

Perché la funzione sia suriettiva, tutti gli elementi di B devono avere una controparte in A. Per sapere questo, calcoliamo ciascuno dei suoi valori numerici.

f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

f (0) = 0² +1 = 0+1=1

f(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

Nota che tutti gli elementi di B {1,2,5} hanno un corrispondente in A, il che rende la funzione suriettiva.

Perché questa funzione sia iniettabile, gli elementi distinti da A devono avere immagini distinte in B, il che non accade. Nota che f(-2) = f (2) e anche che f(-1) = f (1), il che rende la funzione non fare l'iniezione. Non essendo un iniettore, non è nemmeno invertibile; perciò, alternativa b.

Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm