IL funzione esponenziale si verifica quando, nella sua legge di formazione, la variabile è nell'esponente, con dominio e controdominio nel numeri reali. Il dominio della funzione esponenziale sono i numeri reali e il dominio del contatore sono i numeri reali positivi diversi da zero. La tua legge sulla formazione può essere descritta da f(x) =IlX, su cosa Il è un numero reale positivo diverso da 1.
oh grafico di una funzione esponenziale sarà sempre nel primo e secondo quadrante del piano cartesiano, e può essere crescente quando Il è un numero maggiore di 1, o decrescente quando Il è un numero positivo minore di 1. IL funzione inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmica, che rende i grafici di queste funzioni sempre simmetrici.
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Che cos'è una funzione esponenziale?
Come suggerisce il nome, il termine esponenziale è legato all'esponente. Quindi la definizione di funzione esponenziale è a funzione di cui dominio è l'insieme dei numeri reali e il controdominio è l'insieme dei numeri reali positivi diversi da zero., descritto da : ℝ → ℝ*+. La sua legge di formazione è descritta dall'equazione f (x) = IlX, su cosa Il è un qualsiasi numero reale, positivo, non nullo e dato il nome di base.
Esempi:
Nella legge di formazione, f (x) può anche essere descritto come y e, come nelle altre funzioni, è nota come variabile dipendente, perché il suo valore dipende da x, che è nota come variabile. indipendente.
Tipi di funzioni esponenziali
Le funzioni esponenziali possono essere classificate in due casi distinti. Tenendo conto del comportamento della funzione, può essere ascendente o discendente.
Una funzione esponenziale si dice crescente se, all'aumentare del valore di x, aumenta anche il valore di f(x). Ciò si verifica quando la base è maggiore di 1, ovvero: Il > 1.
Esempio:
Una funzione esponenziale si considera decrescente se, all'aumentare del valore di x, diminuisce il valore di f(x). Ciò si verifica quando la base è un numero compreso tra 0 e 1, ovvero 0 < Il < 1.
Esempio:
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Grafico della funzione esponenziale
Per disegnare la rappresentazione grafica di una funzione esponenziale, è necessario trovare l'immagine per alcuni valori di dominio. Il grafico di una funzione esponenziale ha la caratteristica di una crescita molto maggiore di quella di funzioni lineari, se crescente, o una diminuzione maggiore, se decrescente.
Esempi:
a) Costruisci il grafico della funzione: f (x) = 2X.
Poiché >1, allora questa funzione è crescente. Per costruire il grafico, assegniamo alcuni valori a x come mostrato nella tabella seguente:
Ora che conosciamo alcuni punti della funzione, è possibile contrassegnarli nel piano cartesiano e tracciare la curva della funzione esponenziale.
b) Costruisci il grafico della seguente funzione:
In questo caso, la funzione è discendente, poiché la base è un numero compreso tra 0 e 1, quindi il grafico sarà discendente.
Dopo aver trovato alcuni valori numerici, è possibile rappresentare il grafico della funzione nel piano cartesiano:
Proprietà della funzione esponenziale
→ 1a proprietà
In qualsiasi funzione esponenziale, indipendentemente dal suo valore base Il, Dobbiamof (0) = 1. Dopotutto, sappiamo che questo è un proprietà di potenza, ovvero ogni numero elevato a 0 è 1. Ciò significa che il grafico intersecherà l'asse verticale nel punto (0.1) ogni volta.
→ 2a proprietà
La funzione esponenziale è iniettore. Dati x1 e x2 tale che x1 x2, quindi anche le immagini saranno diverse, ovvero f(x1) ≠ f(x2), il che significa che per ogni valore dell'immagine, c'è un singolo valore nel dominio che corrisponde a quell'immagine.
Essere iniettivo significa che per valori diversi da y, ci sarà un unico valore di x che rende f(x) uguale a y.
→ 3a proprietà
È possibile conoscere il comportamento della funzione in base al suo valore base. Il grafico crescerà se la base è maggiore di 1 (Il > 1) e decrescente se la base è minore di 1 e minore di 0 (da < a < 1).
→ 4a proprietà
oh il grafico della funzione esponenziale è sempre nel 1° e 2° quadrante, perché il controdominio della funzione sono i reali positivi diversi da zero.
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Funzione esponenziale e funzione logaritmica
Poiché la funzione esponenziale è una funzione che ammette l'inversa, questo confronto tra funzione esponenziale e funzione logaritmica è inevitabile. si scopre che la funzione logaritmica è la funzione inversa dell'esponenziale. I grafici di queste funzioni sono simmetrici rispetto alla bisettrice dell'asse x. Essendo una funzione inversa significa che il funzione logaritmica fa l'opposto di ciò che fa la funzione esponenziale, cioè nella funzione esponenziale, se f (x) = y, allora la funzione logaritmica, essendo inversa, sarà indicata con f-1 il f-1 (y) = x.
esercizi risolti
(Enem 2015) Il sindacato dei lavoratori di un'azienda suggerisce che il minimo salariale della classe sia R$ 1.800,00, proponendo un aumento percentuale fisso per ogni anno dedicato al lavoro. L'espressione che corrisponde alla proposta di stipendio (s), in funzione dell'anzianità di servizio (t), in anni, è s (t) = 1800·(1,03)t.
Secondo la proposta del sindacato, lo stipendio di un professionista di questa società con 2 anni di servizio sarà, in reais,
a) 7.416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1909.62
Risoluzione:
Vogliamo calcolare l'immagine della funzione quando t = 2, cioè s(2). Sostituendo t = 2 nella formula, troveremo che:
s (2) = 1800 · (1,03)²
s(2) = 1800 · 1,0609
s(2) = 1909,62
E alternativo
2) (Enem 2015) L'inserimento di tecnologie nel sistema produttivo industriale mira a ridurre i costi e aumentare la produttività. Nel primo anno di attività, un'industria ha prodotto 8000 unità di un particolare prodotto. L'anno successivo investe in tecnologia, acquista nuovi macchinari e incrementa la produzione del 50%. Si stima che tale incremento percentuale si ripeterà nei prossimi anni, garantendo una crescita annua del 50%. Sia P la quantità annua di prodotti fabbricati nell'anno t di attività dell'industria.
Se la stima è raggiunta, qual è l'espressione che determina il numero di unità prodotte? Pin funzione di t, per t ≥ 1?
Il) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000
B)P(t) = 50 · t -1 + 8000
ç)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1
e)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1
Risoluzione:
Nota che c'è una relazione tra l'anno t e la quantità di un determinato prodotto p. Sapendo che c'è un aumento del 50% per ogni anno, questo significa che, confrontando la produzione di un anno prima e dopo, il valore del secondo corrisponde al 150%, che è rappresentato da 1,5. Sapendo che la produzione iniziale è di 8000 e che, nel primo anno, questa era la produzione, possiamo descrivere questa situazione con:
Nel primo anno, cioè, se t= 1 → s (t) = 8 000.
Nel secondo anno, se t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
Nel terzo anno, se t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Dopo t anni, avremo P(t) = 8 000 · (1,5)t-1.
E alternativo
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm
