Teorema di decomposizione polinomiale

Il teorema fondamentale dell'algebra per equazioni polinomiali garantisce che "ogni grado polinomio n≥ 1 ha almeno una radice complessa". La dimostrazione di questo teorema fu fatta dal matematico Friedrich Gauss nel 1799. Da esso, possiamo dimostrare il teorema di decomposizione polinomiale, che garantisce che ogni polinomio può essere scomposto in fattori di primo grado. Prendi il seguente polinomio p(x) di grado n ≥ 1 e il_no ≠ 0:

p(x) = a_no X^no + il_n-1 X^n-1 + … + il₁X¹ + il₀

Attraverso il teorema fondamentale dell'algebra, possiamo affermare che questo polinomio ha almeno una radice complessa. tu₁, tale che p(u₁) = 0. oh Il teorema di D'Alembert al divisione di polinomi afferma che se p(u₁) = 0, poi p(x) è divisibile per (x - u₁), risultando in un quoziente che cosa₁(X), che è un polinomio di grado (n - 1), che ci porta a dire:

p (x) = (x - u₁). che cosa₁(X)

Da questa equazione è necessario evidenziare due possibilità:

Se u = 1 e che cosa₁(X) è un polinomio di grado (n-1), poi che cosa₁(X)

ha una laurea 0. Come coefficiente dominante di p(x) é Il_no, che cosa₁(X) è un polinomio costante di tipo che cosa₁(X)=Il_no. Quindi abbiamo:

p (x) = (x - u₁). che cosa₁(X)
(x) = (x - u₁). Il_no
p(x) = a_no . (x - u₁)

Ma se u ≥ 2, allora il polinomio che cosa₁ ha una laurea n - 1 ≥ 1 e vale il teorema fondamentale dell'algebra. Possiamo dire che il polinomio che cosa₁ ha almeno una radice no₂, il che ci porta a dire che che cosa₁ può essere scritto come:

che cosa₁(x) = (x - u₂). che cosa₂(X)

Ma come p (x) = (x - u₁). che cosa₁(X), possiamo riscriverlo come:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). che cosa₂(X)

Ripetendo successivamente questo processo, avremo:

p(x) = a_no. (x - u₁). (x - u₂) … (x – u_no)

Quindi, possiamo concludere che ogni polinomio o equazione polinomiale p(x) = 0 di grado n≥ 1 proprio esattamente no radici complesse.​

Esempio: Essere p(x) un polinomio di grado 5, tale che le sue radici siano – 1, 2, 3, – 2 e 4. Scrivi questo polinomio scomposto in fattori di 1° grado, considerando il coefficiente dominante uguale a 1. Deve essere scritto in forma estesa:

Se – 1, 2, 3, – 2 e 4 sono radici del polinomio, quindi il prodotto delle differenze di X per ciascuna di queste radici risulta in p(x):

p(x) = a_no.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Se il coefficiente dominante Il_no = 1, noi abbiamo:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12) (x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm