IL combinazione semplice è uno dei raggruppamenti studiati in analisi combinatoria. Conosciamo come combinazione il conteggio di tutti i sottoinsiemi di K elementi che possiamo formare da un insieme di no elementi.
È abbastanza comune vedere situazioni in cui usiamo la combinazione, ad esempio, per calcolare tutti i risultati possibile nei giochi della lotteria o del poker e in altre situazioni, come nello studio della probabilità e statistica.
Un altro raggruppamento molto comune è l'arrangiamento. Ciò che differenzia la disposizione dalla combinazione è il fatto che, nella disposizione, l'ordine degli elementi è importante e nella combinazione l'ordine non è importante. Pertanto, confrontiamo la combinazione con la scelta dei sottoinsiemi.
Leggi anche: Principio fondamentale del conteggio - utilizzato per quantificare le possibilità
Cos'è la combinazione semplice?
Nell'analisi combinatoria, viene studiato il numero di possibili cluster. Tra questi raggruppamenti, c'è quella che è nota come combinazione semplice. La semplice combinazione non è altro che il
conteggio di tutti i sottoinsiemi con K elementi di un dato insieme, per esempio: la megassena, in cui vengono estratti 6 numeri a caso.In questo caso, puoi vedere che l'ordine in cui sono stati scelti questi 6 numeri non fa differenza, cioè l'ordine non ha importanza, che rende questo risultato un sottoinsieme. Questa caratteristica è fondamentale per capire cos'è una combinazione e per differenziarla dagli altri raggruppamenti: nella combinazione, l'ordine degli elementi dell'insieme non ha importanza.
formula di combinazione semplice
I problemi che coinvolgono la combinazione sono calcolati da una formula. la combinazione di no elementi presi da K nel K é:
n → elementi totali nell'insieme
k → elementi totali nel sottoinsieme
Vedi anche: Principio di conteggio additivo - unione di elementi di due o più insiemi
Come calcolare una combinazione?
Innanzitutto, è importante sapere quando un problema è una combinazione. Per illustrare, trova tutte le possibili combinazioni del impostato {A, B, C, D} con due elementi:
Combinazioni di elenchi con due elementi, sono: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} e {C, D}. In questo caso si può notare che le combinazioni possibili sono 6, e vale anche la pena notare che i sottoinsiemi {A, B} e {B, A} sono uguali, perché nella combinazione l'ordine non conta .
Si scopre che non è sempre possibile elencare tutte le possibili combinazioni o addirittura non è necessario, in quanto il più grande interesse è nel numero di combinazioni e non nell'elenco di ciascuno di essi. Per questo, è molto pratico usare la formula.
Esempio:
Una scuola estrarrà tre biglietti, uno per ogni studente, tra i primi 10 delle olimpiadi di matematica. Dopo aver completato il test e aver conosciuto i primi 10 posti, calcola le possibili combinazioni per il risultato del sorteggio.
Nota che, nel risultato del sorteggio, l'ordine non è importante, quindi stiamo lavorando con un problema di combinazione.
Calcoleremo quindi la combinazione di 10 elementi presi da 3 su 3. Sostituendo nella formula, dobbiamo:
Eseguiamo ora la semplificazione dei fattoriali. A questo punto è fondamentale padroneggiare il calcolo del fattoriale di un numero. Come 10! è maggiore di qualsiasi fattoriale al denominatore e, guardando il denominatore, 7! è il più grande, facciamo la moltiplicazione di 10 per i suoi predecessori fino a raggiungere 7!, in modo che sia possibile semplificare.
Il triangolo di Pascal
Uno degli strumenti largamente utilizzati nell'analisi combinatoria, principalmente per calcolare a Binomio di Newton, è il triangolo di Pascal. Questo triangolo è costruito dai risultati delle combinazioni, un altro modo per rappresentare la combinazione di due numeri è il seguente:
Il triangolo di Pascal inizia dalla riga 0 e dalla colonna 0, combinando 0 elementi presi da 0 a 0. Le linee sono le stesse di no, e le colonne uguali a K, formando la seguente figura:
Sostituendo i valori che risultano dalle combinazioni:
Attraverso le righe e le colonne del triangolo di Pascal, possiamo trovare il valore della combinazione che vogliamo. Se necessario, possiamo trovare i termini di tutte le righe necessarie. Per saperne di più su questo metodo di risoluzione, leggi il testo: Il triangolo di Pascal.
Differenza tra disposizione e combinazione
Disposizione e combinazione sono due raggruppamenti ugualmente importanti studiati nell'analisi combinatoria. È essenziale conoscere la differenza tra ciascuno di questi gruppi, cioè se vogliamo calcolarli con a disposizione o uno combinazione.
Si scopre che nel combinazione, quando si assemblano i cluster, l'ordine degli elementi dell'insieme non è importante., cioè {A, B} = {B, A}, ma ci sono casi in cui l'ordine è importante nel raggruppamento, in questo caso stiamo lavorando con un array.
Al preparativi, poi, l'ordine degli elementi è diverso, ovvero {A, B} ≠ {B, A}, un esempio di disposizione molto comune sarebbe calcolare in quanti modi diversi possiamo formare il podio di una data competizione tra 10 persone. Nota che in questo esempio, l'ordine è importante, il che lo rende risolvibile dalla formula di disposizione. Oltre alla definizione teorica, le formule sono diverse, e la formula di arrangiamento é:
esercizi risolti
domanda 1 – (Enem) Dodici squadre si sono iscritte a un torneo di calcio amatoriale. La partita di apertura del torneo è stata scelta come segue: prima sono state sorteggiate 4 squadre per formare il Gruppo A. Quindi, tra le squadre del girone A, sono state estratte 2 squadre per giocare la partita di apertura del torneo, la prima delle quali giocherà nel proprio campo e la seconda sarà la squadra ospite. Il numero totale di pronostici possibili per il Gruppo A e il numero totale di pronostici per le squadre nella partita di apertura può essere calcolato utilizzando
A) rispettivamente una combinazione e una disposizione.
B) rispettivamente una disposizione e una combinazione.
C) rispettivamente una disposizione e una permutazione.
D) due combinazioni.
E) due disposizioni.
Risoluzione
Alternativa A
Per differenziare disposizione e combinazione, è necessario analizzare se l'ordine conta o meno nel raggruppamento. Si noti che, nel primo raggruppamento, l'ordine è irrilevante, in quanto il girone A è formato dalle 4 squadre sorteggiate indipendentemente dall'ordine, cioè vi è, prima, una combinazione.
Analizzando il secondo raggruppamento, è possibile vedere che l'ordine conta in esso, poiché la prima squadra che verrà sorteggiata avrà il comando di campo, il che rende questo raggruppamento una disposizione.
In questo modo, l'ordine è una combinazione e una disposizione.
Domanda 2 - Una famiglia composta da 7 adulti, dopo aver deciso l'itinerario del proprio viaggio, ha consultato il sito di una compagnia aerea e ha riscontrato che il volo per la data prescelta era quasi al completo. Nella figura, disponibile sul sito, i posti occupati sono contrassegnati da una X e gli unici posti disponibili sono in bianco.
Il numero di modi diversi per ospitare la famiglia su questo volo è calcolato da:
Risoluzione
Alternativa B. Nell'analizzare la situazione, si noti che l'ordine, cioè quale membro della famiglia siederà su quale sedia, non è rilevante. Ciò che conta sono le 7 poltrone scelte dalla famiglia. Quindi stiamo lavorando con una combinazione. Ci sono 9 posti liberi e ne verranno scelti 7. quindi calcoliamo la combinazione da 9 a 7. Sostituendo nella formula, dobbiamo:
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm
