Matrice inversa: cos'è, come trovare gli esercizi

Il concetto di matrice inversa si avvicina molto al concetto di inverso di un numero. Ricordiamo che l'inverso di un numero no è il numero no^-1, dove il prodotto tra i due è uguale all'elemento neutro del moltiplicazione, cioè il numero 1. Già l'inversa della matrice M è la matrice M^-1, dove il prodotto M · M^-1 è uguale alla matrice identità I_no, che altro non è che l'elemento neutro della moltiplicazione matriciale.

Affinché la matrice abbia un'inversa, deve essere quadrata e, inoltre, il suo determinante deve essere diverso da zero, altrimenti non ci sarà l'inversa. Per trovare la matrice inversa, usiamo l'equazione della matrice.

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Perché una matrice abbia un'inversa, deve essere quadrata.

matrice identità

Per capire cos'è la matrice inversa, è prima necessario conoscere la matrice identità. Conosciamo come matrice identità la matrice quadrata I_no dove tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e gli altri termini sono uguali a 0.

IL matrice identità è l'elemento neutro di moltiplicazione tra matrici., cioè, dato a Sede centrale M di ordine n, il prodotto tra matrice M e matrice I_no è uguale alla matrice M.

M · io_no = M

Come calcolare la matrice inversa

Per trovare la matrice inversa di M, è necessario risolvere un'equazione matriciale:

 M · M^-1 = io_no

Esempio

Trova la matrice inversa di M.

Poiché non conosciamo la matrice inversa, rappresentiamo questa matrice algebricamente:

Sappiamo che il prodotto tra queste matrici deve essere uguale a I₂:

Ora risolviamo l'equazione della matrice:

È possibile separare il problema in due sistemi di equazioni. Il primo usa la prima colonna della matrice M ·M^-1 e la prima colonna della matrice identità. Quindi, dobbiamo:

Per risolvere il sistema, isoliamo il₂₁ nell'equazione II e sostituire nell'equazione I.

Sostituendo nell'equazione I, dobbiamo:

Come troviamo il valore di a₁₁, quindi troveremo il valore di a₂₁:

Conoscere il valore di a₂₁ e il₁₁, ora troveremo il valore degli altri termini impostando il secondo sistema:

isolando il₂₂ nell'equazione III, dobbiamo:

3°₁₂ + 1°₂₂ = 0

Il₂₂ = – 3°₁₂

Sostituendo nell'equazione IV:

5°₁₂ + 2°₂₂ =1

5°₁₂ + 2·( - 3°₁₂) = 1

5°₁₂ – 6°₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

Il₁₂ = – 1

Conoscere il valore di a₁₂, troveremo il valore di a₂₂ :

Il₂₂ = – 3°₁₂

Il₂₂ = – 3 · ( – 1)

Il₂₂ = 3

Ora che conosciamo tutti i termini della matrice M^-1, è possibile rappresentarlo:

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Proprietà della matrice inversa

Ci sono proprietà che derivano dalla definizione di una matrice inversa.

• 1a proprietà: l'inverso della matrice M^-1 è uguale alla matrice M. L'inverso di una matrice inversa è sempre la matrice stessa, cioè (M^-1)^-1 = M, perché sappiamo che M^-1 · M = I_no, quindi M^-1 è l'inverso di M e anche M è l'inverso di M^-1.
• 2a proprietà: l'inverso di una matrice identità è se stessa: I^-1 = I, perché il prodotto della matrice identità da solo risulta nella matrice identità, cioè I_no · IO_no = io_no.
• 3a proprietà: l'inverso di prodotto di due matricitu sei è uguale al prodotto delle inverse:

(M×A)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4a proprietà: una matrice quadrata ha inversa se e solo se è determinante è diverso da 0, cioè det(M) ≠ 0.

esercizi risolti

1) Data la matrice A e la matrice B, sapendo che sono inverse, allora il valore di x+y è:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Risoluzione:

Alternativa d.

Costruire l'equazione:

A · B = I 

Per la seconda colonna, eguagliando i termini, dobbiamo:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Isolando x in I:

Sostituzione in equazione II, dobbiamo:

Conoscendo il valore di y, troveremo il valore di x:

Ora calcoliamo x + y:

Domanda 2

Una matrice ha un'inversa solo quando il suo determinante è diverso da 0. Guardando la matrice sottostante, quali sono i valori x che rendono la matrice non supportata inversa?

a) 0 e 1.

b) 1 e 2.

c) 2 e – 1.

d) 3 e 0.

e) – 3 e – 2.

Risoluzione:

Alternativa B.

Calcolando il determinante di A, vogliamo valori dove det(A) = 0.

det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

risolvendo il Equazione di 2° grado, Dobbiamo:

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

= b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm