Matrice: che cos'è, tipi, operazioni, esempi

IL Sede centrale è comunemente usato per organizzare i dati tabulari per facilitare la risoluzione dei problemi. Le informazioni sulla matrice, numeriche o meno, sono disposte ordinatamente in righe e colonne.

L'insieme delle matrici dotate delle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione e le caratteristiche, come elemento neutro e inverso, formano una struttura matematica che consente la sua applicazione in vari campi di questa vasta area di conoscenza.

Vedi anche: Relazione tra matrici e sistemi lineari

Rappresentazione matriciale

Prima di iniziare gli studi sulle matrici, è necessario stabilire alcune notazioni riguardo alle loro rappresentazioni. A le matrici sono sempre rappresentate da lettere maiuscole. (A, B, C…), che sono accompagnati da indici, in cui il il primo numero indica il numero di righe e il secondo il numero di colonne.

IL numero di righe (righe orizzontali) e colonne (righe verticali) di una matrice ne determina ordine. La matrice A ha ordine m per n. L'informazione contenuta in un array è chiamata

elementi e sono organizzati in parentesi, parentesi quadre o due barre verticali, vedere gli esempi:

La matrice A ha due righe e tre colonne, quindi il suo ordine è due per tre → A_2x3.

La matrice B ha una riga e quattro colonne, quindi il suo ordine è uno per quattro, quindi si chiama matrice di linea → B_1x4.

La matrice C ha tre righe e una colonna, quindi si chiama matrice colonna e il suo ordine è tre per uno → C_3x1.

Possiamo rappresentare genericamente gli elementi di un array, cioè possiamo scrivere questo elemento usando una rappresentazione matematica. ohl'elemento generico sarà rappresentato da lettere minuscole (a, b, c…), e, come nella rappresentazione degli array, ha anche un indice che ne indica la posizione. Il primo numero indica la riga in cui si trova l'elemento e il secondo numero indica la colonna in cui si trova.

Considera la seguente matrice A, elencheremo i suoi elementi.

Osservando il primo elemento che si trova nella prima riga e prima colonna, cioè nella riga uno e nella colonna uno, abbiamo il numero 4. Per facilitare la scrittura, lo indicheremo con:

Il₁₁ → riga un elemento, colonna uno

Quindi abbiamo i seguenti elementi della matrice A_2x3:

Il₁₁ = 4

Il₁₂ =16

Il₁₃ = 25

Il₂₁ = 81

Il₂₂ = 100

Il₂₃ = 9

In generale, possiamo scrivere un array in funzione dei suoi elementi generici, questo è il matrice generica.

Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata da:

• Esempio

Determinare la matrice A = [a_ij ]_2x2, che ha la seguente legge sulla formazione per_ij = j² – 2i. Dai dati dell'enunciato abbiamo che la matrice A è di ordine due a due, cioè ha due righe e due colonne, quindi:

Inoltre, è stata data la legge di formazione della matrice, cioè ogni elemento è soddisfatto della relazione a_ij = j² – 2i. Sostituendo i valori di i e j nella formula, abbiamo:

Il₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

Il₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

Il₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

Il₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Pertanto, la matrice A è:

Tipi di array

Alcune matrici meritano un'attenzione speciale, guarda ora queste tipi di array con esempi.

• matrice quadrata

Una matrice è quadrata quando il il numero di righe è uguale al numero di colonne. Rappresentiamo la matrice che ha n righe e n colonne con A_no (si legge: matrice quadrata di ordine n).

Nelle matrici quadrate abbiamo due elementi molto importanti, il diagonali: principale e secondaria. La diagonale principale è formata da elementi che hanno indici uguali, cioè è ogni elemento a_ij con io = j. La diagonale secondaria è formata da elementi a_ij con i + j = n +1, dove n è l'ordine della matrice.

• matrice identità

La matrice identità è una matrice quadrata che ha tuttivoielementi della diagonale principale pari a 1 e il altri elementi uguali a 0, la sua legge di formazione è:

Indichiamo questa matrice con I, dove n è l'ordine della matrice quadrata, vedi alcuni esempi:

• matrice unitaria

È una matrice quadrata di ordine uno, cioè ha una riga e una colonna e, quindi, solo un elemento.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 e C = || 5||_1x1

Questi sono esempi di matrici unitarie, con enfasi sulla matrice B, che è a matrice identità unitaria.

• matrice nulla

Un array si dice nullo se tutti i suoi elementi sono uguali a zero. Rappresentiamo una matrice nulla di ordine m per n per O_mxn.

La matrice O è nulla di ordine 4.

• matrice opposta

Consideriamo due matrici di ordine uguale: A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_mxn. Tali matrici si chiameranno opposte se, e solo se, la_ij = -b_ij. Così, gli elementi corrispondenti devono essere numeri opposti.

Possiamo rappresentare la matrice B = -A.

• matrice trasposta

Due matrici A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_nxm sono trasposto se, e solo se, il_ij = b_ji , cioè data una matrice A, per trovarne la trasposta basta prendere le righe come colonne.

La trasposta della matrice A è indicata con A^T. Vedi l'esempio:

Vedi altro: Matrice inversa: cos'è e come verificarla

Operazioni con le matrici

Rappresentazione generica di una matrice n x m.

L'insieme delle matrici ha le operazioni di aaddizione e moltiplicazione molto ben definite, cioè, ogni volta che operiamo due o più matrici, il risultato dell'operazione appartiene ancora all'insieme delle matrici. Tuttavia, per quanto riguarda l'operazione di sottrazione? Intendiamo questa operazione come l'inversa dell'addizione (matrice opposta), che è anche molto ben definita.

Prima di definire le operazioni, capiamo le idee di elemento corrispondente e uguaglianza di matrici. Gli elementi corrispondenti sono quelli che occupano la stessa posizione in matrici diverse, cioè si trovano nella stessa riga e colonna. Ovviamente gli array devono essere dello stesso ordine per far esistere gli elementi corrispondenti. Guarda:

Gli elementi 14 e -14 sono elementi corrispondenti di matrici opposte A e B, in quanto occupano la stessa posizione (stessa riga e colonna).

Due matrici si dicono uguali se e solo se gli elementi corrispondenti sono uguali. Quindi, date le matrici A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_mxn, questi saranno gli stessi se, e solo se, il_ij = b_ij per ogni j.

• Esempio

Sapendo che le matrici A e B sono uguali, determina i valori di x e t.

Poiché le matrici A e B sono uguali, allora gli elementi corrispondenti devono essere uguali, quindi:

x = -1 et = 1

• Addizione e sottrazione di matrici

Le operazioni di addizione e sottrazione tra matrici sono abbastanza intuitivi, ma prima deve essere soddisfatta una condizione. Per eseguire queste operazioni è necessario prima verificare che il gli ordini di array sono uguali.

Verificata questa condizione, l'addizione e la sottrazione della matrice avviene sommando o sottraendo i corrispondenti elementi delle matrici. Consideriamo le matrici A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_mxn, poi:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Esempio

Considera le matrici A e B di seguito, determina A + B e A – B.

Leggi anche tu: Operazioni con numeri interi

• Moltiplicazione di un numero reale per matrice

La moltiplicazione di un numero reale in una matrice (detta anche moltiplicazione matriciale) per uno scalare si ottiene moltiplicando ogni elemento della matrice per lo scalare.

Sia A = [a_ij]_mxn una matrice et un numero reale, quindi:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Vedi l'esempio:

• Moltiplicazione di matrici

La moltiplicazione delle matrici non è così banale come l'addizione e la sottrazione di esse. Prima di eseguire la moltiplicazione deve essere soddisfatta anche una condizione relativa all'ordine delle matrici. Considera le matrici A_mxn e B_nxr.

Per eseguire la moltiplicazione, il il numero di colonne nella prima matrice deve essere uguale al numero di righe nella seconda. La matrice prodotto (che deriva dalla moltiplicazione) ha un ordine dato dal numero di righe nella prima e dal numero di colonne nella seconda.

Per eseguire la moltiplicazione tra le matrici A e B, dobbiamo moltiplicare ciascuna delle righe per tutte le colonne come segue: il primo elemento di A viene moltiplicato per il primo elemento di B e poi aggiunto al secondo elemento di A e moltiplicato per il secondo elemento di B, e così successivamente. Vedi l'esempio:

Leggi anche tu: Teorema di Laplace: sapere come e quando usarlo

Esercizi risolti

domanda 1 – (U. E. Londrina – PR) Siano le matrici A e B, rispettivamente, 3 x 4 e p x q, e se la matrice A · B ha ordine 3 x 5, allora è vero che:

a) p = 5 e q = 5

b) p = 4 e q = 5

c) p = 3 e q = 5

d) p = 3 e q = 4

e) p = 3 e q = 3

Soluzione

Abbiamo la dichiarazione che:

IL_3x4 · B_pxq = C_3x5

Dalla condizione di moltiplicare due matrici, si ha che il prodotto esiste solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, quindi p = 4. E sappiamo anche che la matrice prodotto è data dal numero di righe nella prima con il numero di colonne nella seconda, quindi q = 5.

Pertanto, p = 4 e q = 5.

A: Alternativa b

Domanda 2 - (Vunesp) Determinare i valori di x, yez, sulla seguente uguaglianza, coinvolgendo 2 x 2 matrici reali.

Soluzione

Eseguiamo le operazioni tra gli array e quindi l'uguaglianza tra di essi.

Per determinare il valore di x, yez, risolveremo il sistema lineare. Inizialmente, aggiungiamo le equazioni (1) e (2).

2x – 4= 0

2x = 4

x = 2

Sostituendo il valore di x trovato nell'equazione (3), abbiamo:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

E infine, sostituendo i valori di x e z trovati nell'equazione (1) o (2), abbiamo:

x + y - z = 0

2 +y – 2 = 0

y=0

Pertanto, la soluzione del problema è data da S = {(2, 0, 2)}.

di Robson Luiz
Insegnante di matematica