A espressioni algebriche sono quelle espressioni matematiche che avere numeri e lettere, note anche come variabili. Usiamo le lettere per rappresentare valori sconosciuti o anche per analizzare il comportamento dell'espressione in base al valore di questa variabile. Le espressioni algebriche sono abbastanza comuni nello studio di equazioni e nello scrivere formule in Matematica e campi correlati.
Se l'espressione algebrica ha un solo termine algebrico, è nota come monomio; quando ne ha più di uno, si chiama polinomio. È anche possibile calcolare operazioni algebriche, che sono le operazioni tra espressioni algebriche.
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Che cos'è un'espressione algebrica?
Definiamo come espressione algebrica a espressione che contiene lettere e numeri, separati da operazioni matematiche di base, come addizione e moltiplicazione. Le espressioni algebriche sono di grande importanza per lo studio più avanzato della Matematica, rendendo possibile il calcolo di valori incogniti nelle equazioni o anche lo studio delle funzioni. Vediamo alcuni esempi di espressioni algebriche:
a) 2x²b + 4 giorni² + 2
b) 5 minuti8
c) x² +2x - 3
Alle espressioni algebriche vengono dati nomi particolari a seconda di quanti termini algebrici hanno.
monomi
Un'espressione algebrica è detta monomio quando ha solo un termine algebrico. Un termine algebrico è quello che ha lettere e numeri separati solo da una moltiplicazione tra di loro.
Un monomio è diviso in due parti: o coefficiente, che è il numero che moltiplica la lettera, e il parte letterale, che è la variabile con il suo esponente.
Esempi:
a) 2x³ → coefficiente uguale a 2 e la parte letterale uguale a x³.
b) 4ab → coefficiente uguale a 4 e la parte letterale uguale ad ab.
c) m²n → coefficiente è uguale a 1 e la parte letterale è uguale a m²n.
Quando le parti letterali di due monomi sono uguali, sono noti come monomi simili.
Esempi:
a) 2x³ e 4x³ sono simili.
b) 3ab² e -7ab² sono simili.
c) 2 minuti e 3 minuti² no sono simili.
d) 5y e 5x no sono simili.
Vedi anche: Addizione e sottrazione di frazioni algebriche: come si calcola?
polinomi
Quando l'espressione algebrica ha molti termini algebrici, è nota come polinomio. Un polinomio non è altro che il somma o differenza tra monomi. È abbastanza comune da usare polinomi nello studio di equazioni e funzioni, o nel in geometria analitica, per descrivere le equazioni degli elementi di geometria.
Esempi:
a) 2x² + 2x + 3
b) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
c) 5 minuti - 3
d) 4y² + x³ – 4x + 8
Semplificazione delle espressioni algebriche
In un'espressione algebrica, quando ci sono termini simili, è possibile semplificare questa espressione. mediante operazioni con i coefficienti di termini simili.
Esempio:
5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 4x²y + y
Per semplicità, identifichiamo termini simili, ovvero termini che hanno la stessa parte letterale.
5xy²+ 10x– 3xy+ 4x²y – 2x²y² + 5x– 3xy+ 9xy² – 5x²y
Eseguiremo le operazioni tra termini simili, quindi:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy – 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y
Il termine -2x²y² non ha un termine simile, quindi l'espressione algebrica semplificata sarà:
-2x²y² + 14xy² + 15x – 6xy -x²y
operazioni algebriche
L'aggiunta o la sottrazione di espressioni algebriche non è altro che semplificare l'espressione, quindi è possibile operare solo con termini algebrici simili. Nella moltiplicazione, invece, è necessario utilizzare la proprietà distributiva tra i termini, come mostrato negli esempi seguenti:
Esempio di aggiunta:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
Trattandosi di un'aggiunta, possiamo semplicemente rimuovere le parentesi, senza modificare nessuno dei termini:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
Semplifichiamo ora l'espressione:
5x² +2xy - 3
Esempio di sottrazione:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
Per rimuovere le parentesi è necessario invertire il segno di ogni termine algebrico nella seconda espressione:
2x² + 3xy – 5 –3x² + xy – 2
Semplifichiamo ora l'espressione:
– x² + 4xy – 7
Esempio di moltiplicazione:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
Applicando la proprietà distributiva, troviamo:
6x4 – 2x³y + 4x² + 9x³y – 3x²y² +6xy – 15x² – 5xy + 10
Semplifichiamo ora l'espressione:
6x4 + 7x³y – 11x² –3x²y² + xy + 10
Accedi anche a: Come semplificare le frazioni algebriche?
Valore numerico delle espressioni algebriche
Quando conosciamo il valore della variabile di un'espressione algebrica, possiamo trovare il suo valore numerico. Il valore numerico dell'espressione algebrica non è altro che il risultato finale quando sostituiamo la variabile con un valore.
Esempio:
Data l'espressione x³ + 4x² + 3x – 5, qual è il valore numerico dell'espressione quando x = 2.
Per calcolare il valore dell'espressione, sostituiamo x con 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
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Esercizi risolti
Domanda 1 - L'espressione algebrica che rappresenta il perimetro del seguente rettangolo è:
A) 5x – 5
B) 10x – 10
C) 5x + 5
D) 8x - 6
E) 3x - 2
Risoluzione
Alternativa B.
Per calcolare il perimetro, sommiamo i quattro lati insieme. Sapendo che i lati paralleli sono gli stessi, dobbiamo:
P = 2(2x - 4) + 2 (3x - 1)
P = 4x – 8 + 6x – 2
P = 10x – 10
Domanda 2 - (Enem 2012) Una fodera rettangolare in tessuto ha sulla sua etichetta l'informazione che si restringerà dopo il primo lavaggio, mantenendo però la sua forma. La figura seguente mostra le misure originali del soffitto e le dimensioni del restringimento (x) in lunghezza e (y) in larghezza. L'espressione algebrica che rappresenta l'area del soffitto dopo essere stata lavata è (5 – x) (3 – y).
In queste condizioni, l'area persa della fodera, dopo il primo lavaggio, sarà espressa da:
A) 2xy
B) 15 - 3x
C) 15 - 5 anni
D) -5 anni – 3x
E) 5y + 3x – xy
Risoluzione
Alternativa E.
Per calcolare l'area di a rettangolo, calcoliamo l'area trovando il prodotto tra la base e l'altezza del rettangolo. Analizzando la parte mancante del soffitto, è possibile dividerlo in due rettangoli, ma c'è una regione che appartiene ai due rettangoli, quindi dovremo sottrarre l'area da questa regione.
Il rettangolo più grande ha base 5 e altezza y, quindi la sua area è data da 5y. L'altro triangolo ha base x e altezza 3, quindi la sua area è data da 3x. La regione che appartiene ai due rettangoli contemporaneamente ha base x e altezza y, quindi poiché viene contata nei due rettangoli, sottraiamola dalla somma delle aree. Pertanto, l'area persa è data dall'espressione algebrica:
5y + 3x - xy
Di Raul Rodrigues Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm
