IL matematica finanziaria è una delle aree della matematica responsabili dello studio fenomeni legati al mondo finanziario. Inoltre, studiare i loro concetti è molto importante, poiché, nella nostra vita quotidiana, sono sempre più più regali, ad esempio, quando riceviamo uno sconto quando acquisti qualcosa in contanti o un extra quando acquisti qualcosa rate.
Lo studio della matematica finanziaria richiede una conoscenza preliminare di percentuale, vedremo che tutti i concetti sono basati su questo tema.
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A cosa serve la matematica finanziaria?
La matematica finanziaria viene utilizzata quotidianamente, ad esempio, quando stiamo per effettuare un acquisto in contanti e il venditore offre a sconto 5% sul valore del prodotto, o quando scegliamo di acquistare un prodotto a rate e, in questo processo, a tasso d'interesse viene fatturato all'acquirente nel tempo.
Si chiama un esempio dell'importanza di comprendere i concetti della matematica finanziaria
limite di scoperto. Quando si apre un conto presso una determinata banca, viene offerto denaro "extra", ad esempio per le emergenze. Tuttavia, quando si utilizza questo limite o parte di esso, viene addebitata una commissione da pagare in seguito, oltre al denaro prelevato. Questo tasso è chiamato interesse e, comprendendo meglio questi concetti, possiamo elaborare una strategia migliore per gestire le nostre finanze.Esempio 1
Una persona ha bisogno di 100 reais per finire di pagare le bollette mensili, tuttavia l'intero stipendio è già stato speso per le altre bollette. In analisi, questa persona ha scoperto di avere due opzioni.
opzione 1 – Utilizzare il limite di scoperto offerto dalla banca, al tasso dello 0,2% al giorno, da pagare in un mese.
opzione 2 – Ottieni i 100 reais da un amico, al tasso del 2% al mese, da pagare per due mesi.
Utilizzando solo la conoscenza percentuale, analizziamo l'opzione migliore.
analizzando il opzione 1, si noti che viene addebitato il tasso dello 0,2% al giorno, ovvero lo 0,2% dell'importo del prestito viene aggiunto ogni giorno, in questo modo:
Come deve essere pagato il prestito in un mese, e considerando il mese con 30 giorni, l'importo degli interessi da pagare è:
0,2 ·30
6
Pertanto, possiamo concludere che l'importo da pagare alla fine di un mese è:
100 + 6= 106 reais
100 → Importo prestato dalla banca
6 → Importo degli interessi
Ora analizzando il opzione 2, il canone addebitato è del 2% al mese e deve essere pagato entro due mesi, cioè ogni mese viene aggiunto al debito il 2% dell'importo preso in prestito, in questo modo:
Nota che 2 reais al mese devono essere aggiunti all'importo del debito:
2 · 2 = 4
Pertanto, l'importo da versare alla fine del periodo è:
100+ 4 = 104 reais
100 → Importo preso in prestito dall'amico
4 → Importo degli interessi
Quindi, possiamo concludere che l'opzione migliore è prendere i soldi con l'amico. Questo è un semplice e importante applicazione della matematica finanziariaCerto ci sono problemi, strumenti e concetti più sofisticati, ma come tutto il resto nella vita, prima di capire la parte complessa, è necessario capire le basi.
Nozioni di base di matematica finanziaria
I concetti principali della matematica finanziaria implicano una conoscenza preliminare delle percentuali. Successivamente, vedremo concetti come addizione, sconto, interesse semplice e interesse composto.
addizione
L'idea dell'addizione è associata a aggiungere o aggiungere parte del valore al suo valore originale, cioè aggiungiamo a se stesso una percentuale di un certo valore. Vedi l'esempio:
Esempio 2
Un prodotto costava 35 reais, con l'aumento del dollaro è aumentato del 30%. Determinare il nuovo valore per questo prodotto.
Spesso, quando andiamo a fare i calcoli relativi alle addizioni, vengono eseguiti erroneamente scrivendo:
35 + 30%
La percentuale rappresenta parte di qualcosa, quindi affinché questo conto sia corretto, dobbiamo prima calcolare il 30% del valore iniziale, in questo caso 35. Così:
35 + 30% di 35
Risolvendo prima la percentuale e poi sommando i valori, dovremo:
Pertanto, con l'aggiunta, il valore del prodotto sarà di 45,5 reais (quarantacinque reais e cinquanta centesimi).
In generale, possiamo dedurre a formula per l'addizione. Considera un valore x e che subisce un aumento di p%. In base a quanto appena definito, possiamo scrivere questa aggiunta come segue:
x + p% di x
Sviluppando questa espressione, dovremo:
Ripetiamo l'esempio 2 usando la formula sopra. Si noti che x = 35 e l'aumento è stato del 30%, ovvero p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Si noti che è stato ottenuto lo stesso valore ed è un'opzione utilizzare tale formula.
Vedi anche: Grandezze inversamente proporzionali
Sconto
L'idea dello sconto è simile all'idea dell'aggiunta, l'unica differenza è che invece di aggiungere, dovremmo sottrarre una percentuale del valore originale.
Esempio 3 – Un prodotto che costa 60 reais, se acquistato in contanti, ha uno sconto del 30%. Determinare il nuovo valore per questo prodotto.
Analogamente all'aggiunta, dovremo:
Analogamente all'addizione, possiamo dedurre a formula di sconto. Considera un valore x e che subisce uno sconto di p%. Secondo quanto abbiamo definito, possiamo scrivere questa addizione come segue:
x - p% di x
Sviluppando questa espressione, dovremo:
Ripetiamo l'esempio 3 utilizzando la formula sopra, nota che x = 60 e l'aumento è stato del 30%, ovvero p = 30%.
x · (1 - 0,01 p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Vedi che, usando la formula, abbiamo ottenuto lo stesso risultato, quindi nello sconto abbiamo anche due opzioni per determinarlo.
interesse semplice
L'idea dietro interesse semplice è anche simile all'idea di addizione, la differenza tra loro è data dal periodo in cui sono calcolati. Mentre il tasso di maggiorazione viene applicato una volta, il tasso di interesse semplice è calcolato in un intervallo di tempo. Possiamo calcolare l'interesse semplice di un dato capitale C, applicato ad un dato tasso ad un regime di interesse semplice (i), in un dato periodo di tempo t, da formula:
J = C · i · t
L'importo pagato alla fine di questo investimento deve essere dato dal denaro applicato più l'importo degli interessi e si chiama importo (M). L'importo è dato dall'espressione:
M = C + J
M = C + C·i·t
M = C (1 + esso)
L'unica preoccupazione che dovremmo avere in relazione a problemi di semplice interesse è con il with tasso e unità di misura del tempo, devono essere sempre in unità uguali.
Esempio 4
Marta vuole investire R$6000 in una società che promette di generare profitti del 20% all'anno sotto un semplice regime di interessi. Il contratto stipulato da Marta prevede che lei possa ritirare i soldi solo dopo sei mesi, determinare quale sia stato il rendimento dei suoi soldi alla fine di quel periodo.
Osservando l'affermazione, vedi che il capitale è uguale a 6000, quindi abbiamo C = 6000. Il tasso di interesse è del 20% annuo e il denaro sarà investito per sei mesi. Nota che il tasso è stato dato nell'anno e il tempo in mesi, e sappiamo che l'unità di misura per entrambi deve essere la stessa. Troviamo il canone mensile, vedi:
Sappiamo che la tariffa è del 20% all'anno, poiché un anno ha 12 mesi, quindi la tariffa mensile sarà:
20%: 12
1,66% al mese
0,016 al mese
Sostituendo questi dati nella formula, dobbiamo:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reais
Pertanto, l'importo da prelevare alla fine del semestre è di 576 reais, e l'importo è:
M = 6000 + 576
M = 6576 reais
leggi di più: Comprendere l'uso di a çalculator ffinanziario
Interesse composto
Nell'interesse semplice, il valore del tasso di interesse viene sempre calcolato in aggiunta al capitale iniziale, la differenza tra questi due sistemi (interesse semplice e composto) è proprio a questo punto, cioè nel modo in cui il tasso è calcolato. Nell'interesse composto, il tasso di interesse viene sempre calcolato in aggiunta al capitale del mese precedente, questo fa sì che l'interesse aumenti esponenzialmente il proprio valore. IL formula per calcolare l'interesse nel sistema di ammortamento dell'interesse composto è dato da:
M = C · (1 + i)t
Su cosa M è l'importo accumulato, Ç è il valore del capitale iniziale, io è il tasso di interesse espresso in percentuale, e t è il periodo in cui il capitale è stato investito nel sistema. Come con l'interesse semplice, nel sistema dell'interesse composto, il tasso e il tempo devono essere nella stessa unità.
Esempio 5
Calcola l'importo della somma che Marta incasserebbe alla fine dei sei mesi applicando i suoi 6000 reais ad un tasso di interesse del 20% annuo nel sistema dell'interesse composto.
(Dato: 1.20,5 ≈ 1,095)
Nota che i dati sono gli stessi dell'esempio 4, quindi dobbiamo:
C = 6000
io = 0,2 p.a.
t = 0,5 anni
Sostituendo i dati nella formula dell'interesse composto, dobbiamo:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1.2)0,5
M = 6000 · 1.095
M = 6572,67 reais
Pertanto, l'importo da prelevare da Marta nel regime degli interessi semplici è di 6572,67 reais. Si noti che l'importo nel sistema dell'interesse composto è maggiore rispetto al sistema dell'interesse semplice e ciò si verifica in tutti i casi. Per capire meglio come viene calcolato questo tasso, visita: commissioni çdi frontevoi.
esercizi risolti
domanda 1 – (FGV – SP) Un capitale applicato ad interessi semplici, al tasso del 2,5% mensile, si triplica per:
a) 75 mesi
b) 80 mesi
c) 85 mesi
d) 90 mesi
e) 95 mesi
Risoluzione
Alternativa B.
Dobbiamo trovare il tempo in cui l'interesse è pari a 2C, poiché, con l'interesse in questo modo insieme al capitale inizialmente applicato di C, avremo l'importo di 3C (il triplo del capitale). Così:
J = 2C; C=C; i = 2,5% al mese; t = ?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Pertanto, il tempo per triplicare questo capitale è di 80 mesi.
Nota: 80 mesi equivalgono a 6,6 anni.
Domanda 2 – Una merce, dopo aver subito un aumento del 24%, ha visto cambiare il suo prezzo a 1041,60 reais. Determinare l'importo prima di aggiungere.
Risoluzione
Possiamo usare la formula di addizione generale per determinare il valore della merce prima dell'aggiunta.
x · (1 + 0,01 p)
Nella formula, il valore x è quello che stiamo cercando e p è il valore dell'addizione, e questa espressione ci dà il valore del prodotto dopo l'addizione, quindi:
1041,60 = x · (1 + 0,01 p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Visto che abbiamo un'equazione di primo grado, per risolverla dobbiamo isolare l'incognita x, dividendo entrambi i lati dell'uguaglianza per 1.24, o, semplicemente, passare la divisione 1.24. Così:
Pertanto, il valore della merce prima dell'aggiunta era di 840 reais.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm