Numeri naturali: scopri di più su questo set!

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voi numeri naturali sono stati il primo insieme numerico ad essere preso in considerazione, storicamente. Sono emersi dal bisogno di contare dell'essere umano. L'insieme dei numeri naturali ha come elementi i numeri positivi e interi, come 1, 2, 3, 4, …. Questo insieme ha le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenziamento e radicamento.

Cosa sono i numeri naturali?

i numeri naturali sono numeri rigorosamente positivo che non hanno la virgola, cioè rappresentano delle quantità totale. L'insieme dei numeri naturali può essere rappresentato come segue:

L'insieme dei numeri naturali è a insieme infinito, cioè, dato un qualsiasi numero naturale, c'è almeno un numero maggiore di esso. Vedi alcuni esempi di elementi che appartengono e non appartengono a questo insieme.

Dall'esempio sopra, abbiamo che il numero 10, 2 e 100 appartengono all'insieme naturale e i numeri 1.65, -2 e 0 non appartengono all'insieme naturale.

Leggi anche tu: Curiosità sulla divisione dei numeri naturali

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Successore di un numero naturale

L'insieme dei numeri naturali è il primo che abbiamo imparato a scuola.

Come abbiamo detto sopra, l'insieme dei numeri naturali è un insieme infinito, cioè dato un qualsiasi numero no naturale, c'è sempre n+1, anche naturale. Il numero n+1 è chiamato il successore di nf. Per determinare il successore di qualsiasi numero naturale, basta Inserisci 1 a quel numero. Ad esempio, determiniamo i successori dei numeri 3, 1, 5 e 2p + 1.

Il successore del numero 3 è dato da 3+1, cioè il numero 4. Allo stesso modo, i successori di 1 e 5 sono, rispettivamente, 2 e 6. Seguendo la definizione di successore, supponiamo che il successore di 2p + 1 sia 2p + 1 + 1, cioè 2p + 2.

Con la definizione di successore, l'idea che l'insieme dei numeri naturali sia infinito diventa più chiara, poiché è sempre possibile trovare qualsiasi successore di un numero naturale.

Antenato di un numero naturale

Il predecessore di un numero naturale no è quello che precede questo numero no. Possiamo scrivere il predecessore di no piace n - 1. Ad esempio, determiniamo i predecessori dei numeri 2, 5, 1000 e 2p + 1.

Il predecessore di 2 è dato da 2 - 1, quindi è il numero 1. Allo stesso modo, i predecessori di 5 e 1000 sono, rispettivamente, i numeri 4 e 999. Il predecessore del numero 2p + 1 è 2p + 1 – 1, ovvero il predecessore di 2p +1 è il numero 2p.

È importante dire che non tutti i numeri naturali hanno un predecessore, è il caso del numero 1. Applicando la definizione di antenato, abbiamo che il predecessore del numero 1 è 1 - 1 = 0, ma il numero lo zero non appartiene ai numeri naturali. Pertanto, ogni numero naturale ha un predecessore, ad eccezione del numero 1. Per questo motivo il numero 1 è chiamato l'elemento minimo dei naturali, cioè è il numero naturale più piccolo. Possiamo scrivere queste informazioni in questo modo:

Sottoinsieme dei numeri naturali

Sappiamo che l'insieme dei numeri naturali è composto da numeri strettamente positivi, cioè da numeri maggiori di zero. Dalla teoria di imposta, abbiamo che, dati gli insiemi A e B, diciamo che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B è un elemento di A, cioè B è contenuto in A (B ⸦ A).

Pertanto, qualsiasi insieme formato da numeri naturali sarà un sottoinsieme dei numeri naturali. Vedi alcuni esempi:

Considera gli insiemi:

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Gli insiemi A, B e C sono sottoinsiemi dei numeri naturali, in quanto tutti gli elementi di questi insiemi sono anche elementi di quelli naturali, cioè possiamo dire che:

Ora guarda l'insieme D. Nota che, in questo insieme, non tutti gli elementi appartengono all'insieme dei numeri naturali. Questo è il caso del numero 0. Pertanto, D non è sottoinsieme dei numeri naturali, cioè D non è contenuto nell'insieme dei numeri naturali. Indichiamo questo fatto come segue:

Leggi anche: Numeri primi: cosa sono e come trovarli?

numeri naturali pari

Diciamo che un numero è pari se è multiplo del numero 2, il che equivale a dire che questo numero è divisibile per 2. Guarda:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}

Poiché l'insieme dei numeri naturali è un insieme infinito, lo è anche l'insieme dei numeri pari. Si noti inoltre che ogni elemento dell'insieme dei numeri pari è anche un elemento dei numeri naturali e quindi l'insieme di i numeri pari sono un sottoinsieme dei naturali..

Guarda quello:

2 = 2 · 1

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 4

10 = 2 ·5

12 = 2 · 6

L'insieme dei numeri pari si ottiene moltiplicando tutti i numeri naturali per il numero 2. Quindi considerando un numero naturale no, possiamo scrivere un numero pari usando l'espressione 2n, quindi l'insieme dei numeri pari può essere scritto in generale da:

Ad esempio, scopriamo se i numeri 1000, 2098 e 55 sono pari.

Poiché 1000 = 2 · 500 e 2098 = 2 · 1049, sono pari perché esiste un numero naturale che moltiplicato per 2 li dà. Ora, 55 non è pari, poiché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 2, risulti 55. Guarda:

54 = 2 · 27

56 = 2 · 28

Come ben sappiamo, non esiste un numero naturale compreso tra 27 e 28, quindi 55 non è pari.

Numeri naturali dispari

Un numero è dispari se non è pari, cioè quando non è né multiplo né divisibile per 2. Quindi, l'insieme di i numeri naturali dispari sono numeri naturali che non sono multipli di 2. Questo insieme può essere scritto come segue:

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}

Analogamente a quanto fatto nell'insieme dei numeri pari, abbiamo:

3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1

L'insieme dei numeri dispari si ottiene moltiplicando tutti i numeri naturali per 2 e sommando 1. considerando un numero naturale no any, possiamo scrivere qualsiasi numero dispari usando l'espressione 2n + 1. In generale, rappresentiamo l'insieme dei numeri dispari con:

Nota che anche l'insieme dei numeri dispari è un insieme infinito, poiché per ottenere i numeri dispari moltiplichiamo i numeri naturali per 2 e poi aggiungiamo 1. Per questo motivo il insieme di numeri dispari è anche un sottoinsieme di naturali., perché ogni elemento di questo insieme è anche un elemento di quelli naturali.

Vedi anche: Proprietà dei numeri pari e dispari

esercizi risolti

domanda 1 – Elencare solo i numeri naturali dei numeri elencati di seguito:

0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 e 98.765

Soluzione

Sappiamo che l'insieme dei numeri naturali è composto da numeri strettamente positivi che non hanno la virgola, quindi i numeri naturali nell'elenco sono: 1, 2 e 98.765.

Domanda 2 – Considerando la forma generale di un numero pari, è vero che, sommando due numeri pari, il risultato è ancora pari? Lo stesso vale per i numeri dispari?

Soluzione

Sappiamo che un numero pari può essere scritto in generale moltiplicando un qualsiasi numero naturale per 2. Consideriamo due numeri naturali distinti, 2n e 2m, dove m e no qualsiasi numero naturale, la somma dei due è determinata da:

2n + 2m

Mettendo in evidenza il numero 2, abbiamo:

2 ·(n+m)

Piace no e m sono due numeri naturali, anche la loro somma è, quindi n + m = k, dove K un numero naturale.

2 ·(n+m)

2 · k

Pertanto, la somma di due numeri naturali pari è anche un numero pari, poiché la somma ha prodotto un multiplo di 2.

Ora sappiamo che un numero dispari si ottiene moltiplicando un numero naturale per 2 sommato al numero 1. Consideriamo ora due distinti numeri dispari, 2n +1 e 2m + 1, con m e no naturale. Sommando questi numeri abbiamo:

2n+1 + 2m +1

2n + 2m +2

Mettendo nuovamente in evidenza il numero 2, abbiamo:

2 (n+m+1)

Nota che n + m + 1 è un numero naturale e possiamo rappresentarlo con p, cioè n + m + 1 = p, presto:

2 ·(n+m+1)

2 · P

Si noti che il risultato dell'aggiunta di due numeri dispari risulta in un multiplo di 2, ovvero pari. Pertanto, la somma di due numeri dispari è un numero pari.

Domanda 3 - (Gara d'appalto / Pref. da Itaboraí) Il quoziente tra due numeri naturali è 10. Moltiplicando il dividendo per 5 e dimezzando il divisore, il quoziente della nuova divisione sarà:

a) 2

b) 5

c) 25

d) 50

e) 100

Soluzione

Secondo l'affermazione, il quoziente (divisione) tra due numeri naturali è 10. Dato che ancora non sappiamo quali siano questi numeri, chiamiamoli con m e no, poi: