Tavola della verità è uno strumento logico che contiene tutti i valori logici di una proposizione composta. La costruzione di una tavola di verità per una proposizione composta coinvolge i valori logici delle proposizioni semplici che la compongono e le operazioni logiche tra queste proposizioni.
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Riepilogo della tabella della verità
Una tavola di verità è uno strumento utilizzato in logica matematica per disporre tutti i valori logici di una proposizione composta.
Le principali operazioni logiche della tavola di verità sono la negazione (~), la congiunzione (˄), la disgiunzione (˅), il condizionale (→) e il bicondizionale (↔).
Per costruire una tavola di verità per una proposizione composta è necessario utilizzare le tavole di verità delle operazioni logiche fondamentali.
Cos'è la tavola della verità?
Prendere in considerazione P È Q proposizioni semplici, cioè frasi a cui può essere assegnato uno dei seguenti valori logici: vero (V) o falso (F). Una proposizione composta formata attraverso operazioni tra
P È Q è anche una frase che può essere vera o falsa. Il valore logico di questa proposizione composta dipende dai valori logici assegnati a P È Q e le operazioni tra di loro.La tavola della verità è a tabella che presenta tutte le possibilità di valore logico per la proposizione composta basata sui valori logici di P È Q.
In questo testo utilizzeremo la lettera V per indicare il vero valore logico di una proposizione e la lettera F per indicare il falso valore logico.
Principali connettivi della tavola di verità
I connettivi logici (o operatori) lo sono simboli o parole associati ad operazioni che collegano una proposizione semplice con un'altra proposizione semplice per produrre una proposizione composta.
Ci sono cinque connettivi principali, il cui funzionamento, simbolo e significato sono indicati nella tabella seguente.
Operazione |
Simbolo |
Senso |
Rifiuto |
~ |
NO |
Congiunzione |
˄ |
È |
Disgiunzione |
˅ |
O |
Condizionale |
→ |
Se... Poi |
Bicondizionale |
↔ |
se e solo se |
Come leggere:
~ P - "NO P”
P ˄ Q — “P È Q”
P ˅ Q — “P O Q”
P→Q - "Se P Poi Q”
P↔Q — “P se e solo se Q”
Osservazione: Il bicondizionale è il risultato dell'operazione condizionale in entrambe le direzioni, ovvero: P↔Q significa P→Q È Q→P.
Come funziona la tavola della verità?
La prima riga della tavola di verità indica tutte le proposizioni di cui vogliamo analizzare i valori logici, oltre alle rispettive operazioni tra di loro. Ogni riga della tavola della verità presenta nella prima riga la relazione tra i valori logici delle proposizioni.
Per costruire una tavola di verità per qualsiasi proposizione composta è necessario conoscere le tavole di verità delle operazioni fondamentali, derivanti dai principali connettivi logici. Vediamo quali sono queste tavole di verità, ottenute mediante le regole del calcolo proposizionale.
Tavola della verità negazionista
Data una proposta semplice P, il valore logico della proposizione ~ P è l'opposto del valore logico di P. Quindi se P È vero ~ P è falso; e se P È falso ~ P è vero.
P |
~p |
V |
F |
F |
V |
Tavola di verità delle congiunzioni
Date le proposizioni P È Q, il valore logico della proposizione P ˄ Q è vera solo quando entrambe le proposizioni sono vere.
P |
Q |
Perché |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
Tavola di verità della disgiunzione
Date le proposizioni P È Q, il valore logico della proposizione P ˅ Q è vera quando almeno una delle proposizioni è vera.
P |
Q |
Perché |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
Tavola della verità condizionale
Date le proposizioni P È Q, il valore logico della proposizione P→Q è falso quando P è vero e Q è falso ed è vero negli altri casi.
P |
Q |
p→Q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
Tavola di verità bicondizionale
Date le proposizioni P È Q, il valore logico della proposizione P↔Q è vera solo quando entrambe le proposizioni sono vere o entrambe sono false.
P |
Q |
P ↔ Q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
Costruzione della tavola di verità
Sulla base delle tavole di verità delle operazioni fondamentali, possiamo costruire tavole di verità per qualsiasi proposizione composta. Per quello dobbiamo identificare le proposizioni coinvolte ed eseguire le operazioni secondo le tavole di verità dell'argomento precedente.
Osservazione: Il numero di righe in una tavola di verità di una proposizione composta formata da N proposizioni semplici lo sono 2N.
Esempio: Costruisci la tavola di verità della proposizione ~ (P ˄ Q).
Utilizzeremo una tavola di verità con quattro colonne: una per la proposizione P, uno per la proposta Q, uno per la proposta P ˄ Q, e l'ultimo per la proposizione finale, che è ~ (P ˄ Q).
P |
Q |
Perché |
~ (p˄q) |
Possiamo riempire le prime tre colonne di questa tabella con le informazioni della tabella di verità dell'operazione di congiunzione.
P |
Q |
Perché |
~ (p˄q) |
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
F |
Infine, la quarta colonna è la negazione di ciascun valore logico nella terza colonna.
P |
Q |
Perché |
~ (p˄q) |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
Leggi anche: Come funziona la logica di Aristotele
Esercizi sulla tavola della verità
Domanda 1
Costruisci la tavola di verità della proposizione ~ (P ˄ ~ Q).
Risoluzione
Utilizzeremo una tavola di verità con cinque colonne: una per la proposizione P, uno per la proposta Q, uno per la proposta ~ Q, uno per la proposta P ˄ ~ Q, e l'ultimo per la proposizione finale, ~ (P ˄ ~ Q).
P |
Q |
~q |
p˄~q |
~ (p˄~q) |
Ora basta compilare ogni colonna ed eseguire le rispettive operazioni:
P |
Q |
~q |
p˄~q |
~ (p˄~q) |
V |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
Domanda 2
Costruisci la tavola di verità della proposizione ~ P ˅ Q → ~ Q.
Risoluzione
Utilizzeremo una tavola di verità con sei colonne: una per la proposizione P, uno per la proposta Q, uno per la proposta ~ P, uno per la proposta ~ Q, uno per la proposta ~ P ˅ Q, e l'ultimo per la proposizione finale, ~ P ˅ Q → ~ Q.
P |
Q |
~p |
~q |
~p˅q |
~p˅q→ ~q |
Ora basta compilare ogni colonna ed eseguire le rispettive operazioni:
P |
Q |
~p |
~q |
~p˅q |
~p˅q→ ~q |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
Fonti
ALENCAR FILHO, E. In. Introduzione alla logica matematica. San Paolo: Nobel, 2002.
VAZ, R. M. Formalizzazione del ragionamento logico basato sulla logica matematica. Tesi (Laurea Magistrale in Matematica) – Università Federale del Mato Grosso do Sul, Três Lagoas, 2014. Disponibile in https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm
