O diagramma di Venn è un modo che usiamo per rappresentare il insiemi numerici che ci permette di visualizzare meglio gli elementi degli insiemi e le operazioni tra loro (unione, intersezione e differenza).
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Cos'è il diagramma di Venn?
Il diagramma di Venn lo è un modo di rappresentare gli elementi di uno o più insiemi. Per realizzare questa rappresentazione utilizziamo una forma geometrica chiusa e scriviamo gli elementi dell'insieme all'interno di questa forma geometrica. Il diagramma di Venn rende più semplice visualizzare le operazioni tra i set.
Rappresentazioni nel diagramma di Venn
Per rappresentare gli elementi di un insieme nel diagramma di Venn, posizioniamo gli elementi dell'insieme all'interno della regione chiusa.
→ Rappresentazione di un insieme nel diagramma di Venn
Vedi sotto una rappresentazione degli elementi dell'insieme A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} nel diagramma di Venn.
→ Rappresentazione di due insiemi nel diagramma di Venn
Per rappresentare due insiemi nel diagramma, analizziamo innanzitutto se hanno elementi in comune oppure no. In ciascuno di questi casi, il modo di rappresentare è diverso.
◦ Rappresentazione di due insiemi che hanno elementi in comune
Vogliamo rappresentare l'insieme A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} e l'insieme B: {0, 3, 4, 7, 9, 12}. Tieni presente che questi insiemi hanno elementi in comune. Questi elementi comuni sono noti come intersezione e sono gli elementi che apparterranno a entrambi i diagrammi.. Gli elementi comuni in questi insiemi sono {0, 9}. Quindi, rappresentiamo questi insiemi come segue:
◦ Rappresentazione di due insiemi che non hanno elementi in comune
Vogliamo rappresentare l'insieme A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} e l'insieme B: {3, 4, 6, 7, 12}. Quando gli insiemi non hanno elementi in comune, essi sono detti insiemi disgiunti. La sua rappresentazione nel diagramma di Venn è fatta come segue:
Operazioni tra insiemi
Le operazioni tra insiemi sono unione, intersezione e differenza. Possiamo usare il diagramma di Venn per risolvere queste operazioni.
→ Unione di insiemi
L'unione tra due insiemi è la unione di tutti gli elementi che appartengono a uno qualsiasi di questi insiemi. Per rappresentare l'unione tra gli insiemi A e B, utilizziamo il simbolo ∪ tra le lettere che rappresentano gli insiemi, cioè A∪B (leggi: L'unione con B).
Esempio:
Considera gli insiemi A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} e B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. L'unione di questi insiemi è l'insieme A∪B: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12}.
→ Intersezione di insiemi
L'intersezione di due insiemi è formato da elementi che appartengono contemporaneamente ad entrambi gli insiemi. Il simbolo dell'intersezione è ∩, quindi per rappresentare l'intersezione tra due insiemi scriviamo A∩B (leggi: L'intersezione con B).
L'intersezione degli insiemi nel diagramma di Venn è rappresentata dagli elementi che appartengono sia alla regione che delimita l'insieme A sia alla regione che delimita l'insieme B.
Esempio:
Considera gli insiemi A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} e B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. L'intersezione di questi insiemi è l'insieme A∩B: {0, 9}.
→ Differenza tra insiemi
La differenza tra due insiemi è rappresentata da A – B. La differenza è composto da elementi che appartengono a uno degli insiemi e non appartengono all'altro. Ad esempio, nella differenza tra gli insiemi A – B, troviamo l'insieme formato da elementi che appartengono solo all'insieme A, cioè appartengono all'insieme A ma non appartengono all'insieme B.
Esempio:
Considera gli insiemi A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} e B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. La differenza A – B è l'insieme A – B = {1, 2, 5, 10}, ovvero gli elementi che appartengono all'insieme A ma non appartengono all'insieme B.
Sappi anche che: Operazioni con le frazioni: come si fanno?
Esercizi risolti sul diagramma di Venn
Domanda 1
Analizza il diagramma di Venn rappresentato nella seguente immagine:
Gli elementi appartenenti all’insieme B – A sono:
A) {d, b, c, f, sol, h}
B) {a, i, e}
C) {d, b, c}
D) {f, sol, h}
E) {a, b, c, d, e, f, g, h, e, i}
Risoluzione:
Alternativa D
Vogliamo gli elementi che appartengono solo all'insieme B. Sono: {f, g, h}.
Domanda 2
Analizzare il seguente diagramma:
La regione evidenziata è:
A) L'unione tra i due insiemi
B) La differenza tra i due insiemi
C) L'intersezione tra i due insiemi
D) Il complemento del primo insieme.
Risoluzione:
Alternativa C
La regione che appartiene contemporaneamente a entrambi gli insiemi è detta intersezione.
