UN radicamento È un'operazione matematica, proprio come l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e il potenziamento. Allo stesso modo in cui la sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione e la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, la radicazione è l'operazione inversa del potenziamento. Pertanto, per x e y reali positivi e intero n (maggiore o uguale a 2), se x elevato a n è uguale a y, possiamo dire che la radice n-esima di y è uguale a x. In notazione matematica: \(x^n=y\Frecciadestra\sqrt[n]{y}=x\).
Leggi anche:Potenziamento e radicazione delle frazioni: come farlo?
Riepilogo sul rooting
La radicazione è un'operazione matematica.
Radicazione e potenziamento sono operazioni inverse, cioè per x e y positivi, \(x^n=y\Frecciadestra\sqrt[n]{y}=x\).
Calcolare l'ennesima radice di un numero y significa trovare il numero x tale che x elevato a n sia uguale a y.
La lettura di una radice dipende dall'indice n. Se n = 2 la chiamiamo radice quadrata, se n = 3 la chiamiamo radice cubica.
Nelle operazioni con i radicali usiamo termini con lo stesso indice.
La radianza ha importanti proprietà che ne facilitano il calcolo.
Video lezione sul rooting
Rappresentazione di una radice
Per rappresentare un radicamento, dobbiamo considerare i tre elementi coinvolti: radicando, indice e radice. Il simbolo \(√\) si chiama radicale.
\(\quadrato[n]{y}=x\)
In questo esempio, y è il radicando, n è l'indice e x è la radice. Si legge "l'ennesima radice di y è x". Mentre xey rappresentano numeri reali positivi, n rappresenta un numero intero uguale o maggiore di 2. È importante notare che per n = 2 l'indice può essere omesso. Quindi, ad esempio, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Possiamo rappresentare una radicalizzazione utilizzando il radicando con esponente frazionario. Formalmente diciamo che la radice ennesima di \(y^m\) può essere scritto come y elevato all'esponente frazionario \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Vedi gli esempi:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Differenze tra radicazione e potenziamento
Potenziamento e radiazione sono operazioni matematiche inverse. Ciò significa che se \(x^n=y\), Poi \(\quadrato[n]{y}=x\). Sembra difficile? Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Se \(3^2=9\), Poi \(\quadrato[2]{9}=3\).
Se \(2^3=8\), Poi \(\quadrato[3]{8}=2\).
Se \(5^4=625\), Poi \(\quadrato[4]{625}=5\).
Come leggere una radice?
Per leggere una radice, dobbiamo considerare l'indice N. Se n = 2, la chiamiamo radice quadrata. Se n = 3 la chiamiamo radice cubica. Per valori di N più grandi, usiamo la nomenclatura per i numeri ordinali: quarta radice (se n = 4), quinta radice (se n = 5) e così via. Vedi alcuni esempi:
\(\quadrato[2]{9}\) – radice quadrata di 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – radice cubica di 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – quarta radice di 625.
Come calcolare la radice di un numero?
Vedremo di seguito come calcolare la radice di un numero reale positivo. Per calcolare la radice di un numero, dobbiamo considerare la relativa operazione inversa. Cioè, se cerchiamo l'ennesima radice di un numero y, dobbiamo cercare un numero x tale che \(x^n=y\).
A seconda del valore di y (cioè del radicando), questo processo può essere semplice o laborioso. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi su come calcolare la radice di un numero.
Esempio 1:
Qual è la radice quadrata di 144?
Risoluzione:
Chiamiamo x il numero che stiamo cercando, cioè \(\quadrato{144}=x\). Nota che questo significa cercare un numero x tale che \(x^2=144\). Testiamo alcune possibilità con i numeri naturali:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Perciò, \(\quadrato{144}=12\).
Esempio 2:
Qual è la radice cubica di 100?
Risoluzione:
Chiamiamo x il numero che stiamo cercando, cioè \(\sqrt[3]{100}=x\). Ciò significa che \(x^3=100\). Proviamo alcune possibilità:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Nota che stiamo cercando un numero compreso tra 4 e 5, come \(4^3=64\) È \(5^3=125\). Quindi, testiamo alcune possibilità con i numeri compresi tra 4 e 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
COME \(4,6^3 \) è un numero vicino e inferiore a 100, possiamo dire che 4,6 è un'approssimazione della radice cubica di 100. Perciò, \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
Importante:Quando la radice è un numero razionale, diciamo che la radice è esatta; in caso contrario, la radice non è esatta. Nell'esempio sopra, determiniamo un intervallo tra le radici esatte in cui si trova la radice cercata:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Questa strategia è molto utile per calcolare le approssimazioni di una radice.
Operazioni con i radicali
Nelle operazioni con i radicali usiamo termini con lo stesso indice. Considerato ciò, leggere attentamente le seguenti informazioni.
→ Addizione e sottrazione tra radicali
Per risolvere un'addizione o una sottrazione tra radicali, dobbiamo calcolare la radice di ciascun radicale separatamente.
Esempi:
\(\quadrato[3]{27}+\quadrato[3]{216}=3+6=9\)
\(\quadrato{400}-\quadrato{169}=20-13=7\)
Importante: Non è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione con i radicali. Si noti che, ad esempio, l'operazione \(\quadrato4+\quadrato9\) risulta in un numero diverso di \(\sqrt{13}\), anche se \(4+9=13\).
\(\quadrato4+\quadrato9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ Moltiplicazione e divisione tra radicali
Per risolvere una moltiplicazione o divisione tra radicali possiamo calcolare separatamente la radice di ogni radicale, ma possiamo anche utilizzare le proprietà di radiciazione, che vedremo più avanti.
Esempi:
\(\quadrato{121}⋅\quadrato{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Quali sono le proprietà della radicazione?
→ Proprietà 1 della radicazione
Se y è un numero positivo, allora la radice n-esima di \(sì^n\) è uguale a y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Vedi l'esempio:
\(\quadrato[3]{2^3}=\quadrato[3]{8}=2\)
Questa proprietà è ampiamente utilizzata per semplificare le espressioni con radicali.
→ Proprietà 2 della radicazione
L'ennesima radice del prodotto \(y⋅z\) è uguale al prodotto delle radici n-esime di y e z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Vedi l'esempio:
\(\quadrato{36 ⋅ 196}=\quadrato{36}⋅\quadrato{196}=6⋅14=84\)
Importante: Quando calcoliamo la radice di un numero grande, è molto utile fattorizzare (scomporre) il radicando in numeri primi e applicare le proprietà 1 e 2. Vedi l'esempio seguente, in cui vogliamo calcolare \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Come questo,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Proprietà 3di radicamento
L'ennesima radice del quoziente \(\frac{y}z\), con \(z≠0\), è uguale al quoziente delle radici n-esime di y e z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Vedi l'esempio:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Proprietà 4 della radicazione
La radice n-esima di y elevata ad esponente m è uguale alla radice n-esima di \(y^m\).
\((\quadrato[n]{y})^m=\quadrato[n]{y^m}\)
Vedi l'esempio:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Vedi anche: Quali sono le proprietà del potenziamento?
Esercizi risolti sulla radicazione
Domanda 1
(FGV) Semplificare \(2\quadrato3+2\quadrato12-2\quadrato{75}\), ottieni:
A) 0
B)-23
C)-43
D)-63
D)-83
Risoluzione:
Alternativa C.
Notiamo che utilizzando le proprietà di radiciation, abbiamo
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Possiamo quindi riscrivere l’espressione dell’enunciato come:
\(2\quadrato3+4\quadrato3-10\quadrato3\)
Mettere il termine \(\sqrt3\) prove, concludiamo che
\(2\quadrato3+4\quadrato3-10\quadrato3=(2+4-10)⋅\quadrato3=-4\quadrato3\)
Domanda 2
(Cefet) Per quale numero dobbiamo moltiplicare il numero 0,75 affinché la radice quadrata del prodotto ottenuto sia pari a 45?
R) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Risoluzione:
Alternativa A.
Il numero cercato è x. Pertanto, secondo il comunicato,
\(\quadrato{0,75⋅x}=45\)
Perciò,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
