È noto come a numero razionale ogni numero che può essere rappresentato come una frazione irriducibile. Nel corso della storia umana, l'idea di numero è stata gradualmente sviluppata in conformità con i bisogni umani. La rappresentazione dei numeri in frazioni, ad esempio, risolveva problemi che venivano risolti solo con numeri interi.
Un numero razionale può essere rappresentato da una frazione, quindi ci sono metodi per trasformare numeri interi, numeri decimali decimali esatti e periodici in frazioni.
Leggi anche: Operazioni con le frazioni: come risolverle?
Cosa sono i numeri razionali?
I numeri razionali sono un'espansione dell'insieme dei numeri interi, poi, oltre ai numeri interi, furono aggiunti tutte le frazioni. oh impostato dei numeri razionali è rappresentato da:
Ciò che questa rappresentazione dice è che un numero è razionale se può essere rappresentato come frazione Il di B, tale che Il è un numero intero e B è un numero intero diverso da zero. Ma se vogliamo definire i numeri razionali in modo meno rigoroso, possiamo dire quanto segue:
I numeri razionali sono tutti i numeri che possono essere rappresentati come una frazione. |
Soddisfa questa definizione:
voi interis, ad esempio: -10, 7, 0;
voi numeri decimali esatti, ad esempio: 1,25; 0,1; 3,1415;
a decime periodiche semplici, ad esempio: 1.424242…;
a decime periodiche composte, ad esempio: 1.0288888…
No sono numeri razionali:
A decime non periodiche, ad esempio: 4,1239489201…;
A radicinon esatto, per esempio:
;- IL ranaioz quadrato di numeri negativi, per esempio:
.
Osservazione: L'esistenza di numeri non razionali fa emergere altri insiemi, come i numeri irrazionali e numeri complessi.
Rappresentazione dei numeri razionali
Sapendo che la frazione è a divisione di due numeri interi, per essere un numero razionale, puoi rappresentare questo numero come una frazione. Pertanto, ciascuno dei casi sopra menzionati come numeri razionali (numeri interi, decimali esatti e decimali periodici) può essere rappresentato come una frazione.
interi
Ci sono infinite possibilità per rappresentare un intero come frazione, in quanto una frazione può essere rappresentata in forma irriducibile o meno.
Esempi:
decimali esatti
Per trasformare un numero decimale esatto in a frazione, contiamo il numero di numeri nella sua parte decimale, cioè dopo la virgola. Se c'è un numero dopo la virgola, scriveremo la parte intera più la parte decimale senza la virgola su 10. Se ci sono due numeri nella parte decimale maggiori di 100, in pratica, la quantità di numeri nella parte decimale sarà la quantità di zeri che abbiamo al denominatore. Vedi l'esempio:
decime periodiche
Trovare la rappresentazione frazionaria di una decima non è sempre un compito facile, quello che chiamiamo frazione generatrice. Per facilitare questo lavoro, è stato osservato che, nell'equazione che abbiamo usato per trovare la frazione generatrice, sono presenti delle regolarità, che hanno permesso lo sviluppo di un metodo pratico.
Innanzitutto, dobbiamo capire che ci sono due tipi di decime periodiche, semplici e composte. Uno la decima è semplice se nella sua parte decimale c'è solo la parte che si ripete, cioè il punto. Uno la decima è composta se, nella sua parte decimale, è presente una parte non periodica.
Esempio:
9.323232… → decimale periodico semplice
La parte intera è uguale a 9.
Il periodo è pari a 32.
8,7151515… → decima periodica composta
La parte intera è uguale a 8.
La parte decimale non periodica è uguale a 7.
Il periodo è uguale a 15.
Vedi anche: Frazioni equivalenti - frazioni che rappresentano la stessa quantità
→ 1° caso: generazione di frazioni di un semplice decimale periodico
Nel primo caso, a trasforma un semplice decimale periodico in una frazione con il metodo pratico basta scrivere al numeratore la parte intera più il punto senza la virgola. Al denominatore, per ogni elemento della parte periodica, aggiungiamo un 9.
Esempio:
La frazione generatrice di 9,323232…, come abbiamo visto, ha un periodo pari a 32, cioè due numeri nel suo periodo, quindi il denominatore è 99. La parte intera più la parte periodica senza la virgola è 932, che è il numeratore. Quindi, la frazione generatrice di questa decima è:
→ 2° caso: generazione di una frazione di un decimale periodico composto
La decima periodica composita è un po' più laboriosa. Troviamo la frazione generatrice della decima su cui abbiamo lavorato nell'esempio.
8,7151515… → decimale periodico composto.
La parte intera è uguale a 8.
La parte decimale non periodica è uguale a 7.
La parte decimale del periodo è pari a 15.
Il numeratore sarà il sottrazione 8715 – 87, cioè la differenza tra il numero che va dalla parte intera alla parte periodica con la parte non ripetitiva della decima.
Il numeratore sarà uguale a 8715 – 87 = 8628.
Per trovare il denominatore, analizziamo la parte decimale. Prima diamo un'occhiata alla parte decimale non periodica e periodica. In questo caso, la parte decimale del numero è 715. Per ogni numero che si trova nella parte periodica, aggiungiamo a 9 all'inizio del denominatore. Poiché la parte periodica in questo caso ha due numeri (15), ci saranno due 9 al denominatore. Per ogni numero nella parte decimale che non è periodico, aggiungeremo a 0 alla fine del denominatore, che sarà 990.
Presto, il frazione generatrice della decima sarà:
Proprietà dei numeri razionali
Tra due numeri razionali ci sarà sempre un altro numero razionale
È interessante pensare che questa proprietà, tanto discussa dagli antichi, sia diventata un paradosso. Scegliendo due numeri razionali, ci sarà sempre un numero tra di loro.
Esempio:
Tra 1 e 2, c'è 1,5; tra 1 e 1,5, c'è 1,25; tra 1 e 1,25 c'è 1,125 e così via. Per quanto scelgo due numeri razionali con pochissima differenza tra loro, è sempre possibile trovare un numero razionale tra di loro. Questa proprietà rende impossibile definire successore e predecessore in numeri razionali.
Le quattro operazioni sull'insieme dei numeri razionali sono chiuse
Diciamo che l'insieme è chiuso per il somma, ad esempio, se la somma di due numeri razionali genera sempre un altro numero razionale come risposta. Questo è ciò che accade con le quattro operazioni su Q.
IL addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione tra due numeri razionali risulterà sempre in un numero razionale. In effetti, anche il potenziamento di un numero razionale genererà sempre un numero razionale in risposta.
L'insieme dei numeri razionali non è chiuso al radicamento. Così, mpoiché 2 è un numero razionale, la radice quadrata di 2 è a numero irrazionale.
Vedi anche: Frazioni equivalenti - frazioni che rappresentano la stessa quantità
Sottoinsiemi di numeri razionali
Sappiamo come sottoinsiemi o relazione di inclusione gli insiemi formati da elementi che appartengono all'insieme dei numeri razionali. Ci sono diversi possibili sottoinsiemi, come l'insieme dei numeri interi o naturale, perché ogni numero intero è razionale, così come ogni numero naturale è razionale.
Esempio:
Insieme di numeri interi: Z= {…-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, …}.
Quando ciò accade, diciamo che Z ⸦ Q (Si legge: Z è contenuto in Q o l'insieme dei numeri interi è contenuto nell'insieme dei numeri razionali.)
Ci sono alcuni simboli che sono essenziali per creare sottoinsiemi di Q, sono: +,- e *, che significano, rispettivamente, positivo, negativo e non nullo.
Esempi:
Q* → (si legge: insieme di numeri razionali diversi da zero.)
Q+ → (si legge: insieme di numeri razionali positivi.)
Q- → (si legge: insieme di numeri razionali negativi.)
Q*+ → (si legge: insieme di numeri razionali positivi e diversi da zero.)
Q*- → (si legge: insieme di numeri razionali negativi e diversi da zero.)
Nota che tutti questi insiemi sono sottoinsiemi di Q, poiché tutti gli elementi appartengono all'insieme dei numeri razionali. Oltre agli insiemi presentati, possiamo lavorare con diversi sottoinsiemi in Q, come l'insieme formato da numeri dispari, o cugini, o coppie, infine, esistono numerose e svariate possibilità di sottoinsiemi.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm