Sappiamo come polinomio un'espressione che indica la somma algebrica di monomi non simili, cioè il polinomio è uno espressione algebrica tra monomi. Monomio è un termine algebrico che ha un coefficiente e una parte letterale.
Quando ci sono termini simili tra i polinomi, è possibile eseguire il riduzione dei suoi termini addizione e/o sottrazione di due polinomi. È anche possibile moltiplicare due polinomi attraverso la proprietà distributiva. La divisione viene eseguita utilizzando il metodo delle chiavi.
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Cosa sono i monomi?
Per capire cos'è un polinomio, è importante prima capire il significato di un monomio. Un'espressione algebrica è detta monomio quando ha numeri e lettere e loro esponenti separati solo per moltiplicazione. Il numero è noto come coefficiente e le lettere e i loro esponenti sono noti come parte letterale.
Esempi:
2x² → 2 è il coefficiente; x² è la parte letterale.
√5ax → √5 è il coefficiente; ascia è la parte letterale.
b³yz² → 1 è il coefficiente; b³yz² è la parte letterale.
Cos'è un polinomio?
Un polinomio non è altro che il somma algebrica di monomi, cioè sono più monomi separati per addizione o sottrazione l'uno dall'altro.
Esempi:
ax² + di + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
In generale, un polinomio può avere più termini, è rappresentato algebricamente da:
IlnoXno + il(n-1) X(n-1) + … + il2x² + a1x + a
Vedi anche: Quali sono le classi di polinomi?
grado di un polinomio
Per trovare il grado del polinomio, separiamolo in due casi, quando ha una sola variabile e quando ha più variabili. Il grado del polinomio è dato da grado del massimo dei suoi monomi in entrambi i casi.
È abbastanza comune lavorare con un polinomio che ha una sola variabile. Quando ciò accade, oh monomio maggiore grado che indica il grado del polinomio è uguale al massimo esponente della variabile:
Esempi:
Polinomi a variabile singola
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → nota che la variabile è x e l'esponente più grande che ha è 3, quindi questo è un polinomio di grado 3.
b) 2 anni5 + 4y² – 2y + 8 → la variabile è y e l'esponente più grande è 5, quindi questo è un polinomio di grado 5.
Quando il polinomio ha più di una variabile in un monomio, per trovare il grado di questo termine, è necessario Inserisci-Se il grado gli esponenti di ciascuna delle variabili. Quindi, il grado del polinomio, in questo caso, è ancora uguale al grado del monomio più grande, ma bisogna aver cura di sommare gli esponenti delle variabili di ciascun monomio.
Esempi:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Analizzando la parte letterale di ogni termine, dobbiamo:
xy → grado 2 (1 + 1)
x²y³ → grado 5 (2 + 3)
y³ → grado 3
Nota che il termine più grande ha grado 5, quindi questo è un polinomio di grado 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analizzando la parte letterale di ogni monomio:
a²b → grado 3 (2 + 1)
ab² → grado 2 (1 + 1)
a²b² → grado 4 (2 + 2)
Quindi il polinomio ha grado 4.
Aggiunta di polinomi
Al addizione tra due polinomi, eseguiamo il riduzione di monomi simili. Due monomi sono simili se hanno parti letterali uguali. Quando ciò accade, è possibile semplificare il polinomio.
Esempio:
Sia P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Trova il valore di P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Trovare termini simili (che hanno le stesse parti letterali):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Ora aggiungiamo i monomi simili:
(2+4)x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Sottrazione polinomiale
La sottrazione non è molto diversa dall'addizione. Il dettaglio importante è che prima dobbiamo scrivere il polinomio opposto prima di procedere alla semplificazione di termini simili.
Esempio:
Dati: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² - 2x + 4. Calcola P(x) – Q(x).
Il polinomio -Q(x) è l'opposto di Q(x), per trovare l'opposto di Q(x), basta invertire il segno di ciascuno dei suoi termini, quindi dobbiamo:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Quindi calcoleremo:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Semplificando termini simili, abbiamo:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Moltiplicazione polinomiale
Per eseguire la moltiplicazione di due polinomi, usiamo il noto proprietà distributiva tra i due polinomi, operando la moltiplicazione dei monomi del primo polinomio per quelli del secondo.
Esempio:
Sia P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcola P(x) · Q(x).
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Applicando la proprietà distributiva avremo:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2°5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Ora, se esistono, possiamo semplificare termini simili:
2°5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Nota che gli unici monomi simili sono evidenziati in arancione, semplificando tra loro, avremo come risposta il seguente polinomio:
2°5 + (6+1)ab + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2°5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Accedi anche a: Come si esegue la moltiplicazione algebrica di frazioni?
divisione polinomiale
eseguire il divisione di polinomi può essere piuttosto laborioso, usiamo quello che viene chiamato metodo delle chiavi, ma esistono diversi metodi per farlo. La divisione di due polinomi è possibile solo se il grado del divisore è minore. Dividendo il polinomio P(x) per il polinomio D(x), si cerca un polinomio Q(x), tale che:
Quindi, per l'algoritmo di divisione, abbiamo: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → dividendo
D(x) → divisore
Q(x) → quoziente
R(x) → resto
Quando si opera la divisione, il polinomio P(x) è divisibile per il polinomio D(x) se il resto è zero.
Esempio:
Operiamo dividendo il polinomio P(x) = 15x² +11x + 2 per il polinomio D(x) = 3x + 1.
Vogliamo condividere:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1° passo: dividiamo il primo monomio del dividendo con il primo del divisore:
15x²: 3x = 5x
2° passo: moltiplichiamo 5x · (3x+1) = 15x² + 5x e sottraiamo il risultato di P(x). Per eseguire la sottrazione è necessario invertire i segni del risultato della moltiplicazione, trovando il polinomio:
3° passo: eseguiamo la divisione del primo termine del risultato della sottrazione per il primo termine del divisore:
6x: 3x = 2
4° passo: quindi abbiamo (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Pertanto, dobbiamo:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
Leggi anche: Dispositivo pratico di Briot-Ruffini – divisione di polinomi
Esercizi risolti
Domanda 1 - Quale deve essere il valore di m affinché il polinomio P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m abbia grado 2?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
MI) -9
Risoluzione
Alternativa A
Perché P(x) abbia grado 2, il coefficiente di x³ deve essere uguale a zero e il coefficiente di x² deve essere diverso da zero.
Quindi faremo:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
D'altra parte, abbiamo che m + 3 ≠ 0.
Quindi, m -3.
Quindi, abbiamo come soluzione della prima equazione che m = 3 o m = -3, ma per la seconda abbiamo m ≠ -3, quindi l'unica soluzione che fa sì che P(x) abbia grado 2 è: m = 3.
Domanda 2 - (IFMA 2017) Il perimetro della figura può essere scritto dal polinomio:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Risoluzione
Alternativa D
Dall'immagine, quando analizziamo la lunghezza e la larghezza date, sappiamo che il perimetro è la somma di tutti i lati. Poiché la lunghezza e l'altezza sono uguali, moltiplichiamo semplicemente la somma dei polinomi dati per 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica