Volume del tronco di cono: come calcolarlo?

O volume troncoconico è lo spazio occupato da questo corpo rotondo. Poiché la sezione trasversale di un cono di raggio R produce un cono di raggio minore R e un tronco di cono, i volumi di questi tre solidi sono correlati.

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Riassunto sul volume del tronco di cono

Un cono di raggio R tagliato trasversalmente ad un'altezza H del piano di base è diviso in due solidi geometrici: un cono di raggio R È un tronco di cono.
Gli elementi principali del tronco di cono sono l'altezza H, la più piccola base del raggio R e base maggiore di raggio R.
Il volume del tronco di cono è la differenza tra il volume del cono di raggio R e il volume del cono di raggio R.
La formula per il volume del tronco di cono è:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

Video lezione sul volume del tronco di cono

Quali sono gli elementi del tronco di cono?

Gli elementi di un tronco di cono formato dalla sezione di un cono retto di raggio R sono:

base minore – cerchio di raggio R, ottenuto nella sezione del cono di raggio R .

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base più grande – base circolare del cono di raggio R .
Altezza (h) – distanza tra i piani delle basi.
Generatrice – segmento con estremità sulle circonferenze che delimitano le basi.

UN l'immagine sotto presenta gli elementi di un tronco di cono. Nota che le basi minore e maggiore sono parallele.

Formula del volume del tronco di cono

Successivamente, deduciamo la formula per il volume di un tronco d'altezza H, raggio di base più piccolo R e raggio della base maggiore R .

Si consideri che la sezione trasversale di un cono di raggio R e altezza H₁ produce due solidi:

un cono di fulmini R e altezza h₂ È
un cono tronco alto H .

capito che \(H_1=H_2+h\).

Il volume del cono di raggio R (che chiameremo cono maggiore) sarà rappresentato da VR; il volume del cono del raggio R (che chiameremo il cono minore), da Vr; e il volume del tronco di cono di Vt. Perciò:

\(V_R=V_r+V_t\)

Notare che:

\( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
\( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)

Osservazione: VR e Vr sono volumi di coni. Per esaminare questa pratica, fare clic su Qui.

Come questo:

\(V_R=V_r+V_t\)

\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

Il termine H2 corrisponde all'altezza del cono più piccolo. Mettendo in relazione le altezze dei coni con i rispettivi raggi delle basi, si ottiene una formula per il volume del tronco che dipende solo dagli elementi del tronco (R, R È H).

Associando il raggio e l'altezza del cono maggiore (R e H₁ ) con il raggio e l'altezza del cono minore (R e H₂), abbiamo la seguente proporzione:

\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)

\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)

\(Dx_2=Dx_2+Dx\)

\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)

Presto, possiamo riscrivere il volume del bagagliaio vT come segue:

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)

Come questo, La formula per il volume del tronco di cono è:

\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)

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Come calcolare il volume del tronco di cono?

Per calcolare il volume di un tronco di cono, basta sostituire nella formula le misure dell'altezza, del raggio della base minore e del raggio della base maggiore.

Esempio: Qual è il volume, in centimetri cubi, di un tronco di cono in cui il raggio della base maggiore è R = 5 cm, il raggio della base minore è r = 3 e l'altezza è h = 2 centimetri? (usa π=3 )

Sostituendo i dati nella formula si ha:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)

\(V_t=2⋅(49)\)

\(V_t=98 cm³\)

Esercizi risolti sul volume del tronco di cono

domanda 1

Un vaso ha la forma di un tronco di cono con il raggio della base maggiore R = 8 cm, il raggio della base minore r = 4 e l'altezza h = 2 cm. Il volume di questo vaso, in cm³, è:

a) 48 pi

b) 64 pi

c) 112 pi

d) 448 pi

e) 1344 pp

Risoluzione

Sostituendo i dati nella formula si ha:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)

\(V_t=4π⋅(112)\)

\(V_t=448π\)

Alternativa D

Domanda 2

(Enem 2021) Una persona ha comprato una tazza per bere la zuppa, come illustrato.

Rappresentazione di un boccale a forma di cono.

È noto che 1 cm³ = 1 ml e che la parte superiore della tazza è un cerchio con un diametro (D) che misura 10 cm, e la base è un cerchio con un diametro (d) che misura 8 cm.

Inoltre, è noto che l'altezza (h) di questa tazza misura 12 cm (distanza tra il centro dei cerchi superiore e inferiore).

Usa 3 come approssimazione per π.

Qual è la capacità volumetrica, in millilitri, di questa tazza?

a) 216

b) 408

c) 732

d) 2196

e) 2928

Risoluzione

La forma della tazza è un tronco di cono in cui la parte superiore è la base più grande. Inoltre, r=5, R = 4 cm e H = 12. Presto:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)